Функция Гомпертца

Кривая Гомпертца или функция Гомпертца, названная в честь Бенджамина Гомпертца, является сигмовидной функцией. Это тип математической модели для временных рядов, где рост медленнее в начале и в конце периода. Она напоминает логистическую кривую, но не симметричную, а с более пологим правым хвостом, то есть замедление роста происходит не так быстро, как происходило его ускорение.

Графики кривых Гомпертца, показывающие влияние изменения одного из параметров при сохранении других постоянными

Вариация $a$

Вариация $b$

Вариация $c$

Формула

$y(t)=ae^{be^{ct}}$

где

• a верхняя асимптота $ae^{be^{-\infty }}=ae^{0}=a$
• b, c отрицательные числа (параметры роста)
• b устанавливает смещение по x
• c задаёт темп роста (масштабирование по x)
• e число Эйлера (e = 2.71828…)

Производная

Функция кривой может быть получена из закона смертности Гомпертца, в котором говорится, что уровень смертности (распада) экспоненциально падает с возрастом.

$k^{r}\propto {\frac {1}{y(t)}}$

где

• $r={\frac {y'(t)}{y(t)}}$ - темп роста.
• k - произвольная постоянная.

Примеры использования

Примеры использования для кривых Гомпертца включают в себя:

• Количество мобильных телефонов: пока стоимость была высокой рост был медленный, а затем период быстрого роста, а затем замедление когда было достигнуто насыщение.
• Население в ограниченном пространстве, так как уровень рождаемости сначала повышается, а затем медленно спадает по мере ограничения ресурсов.
• Моделирование роста опухоли.
• Моделирование роста википедии.

См. также

• Распределение Гомпертца
• Кривая роста

Внешние ссылки

• Weisstein, Eric W. Gompertz Curve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.