Смещение вследствие пропущенных переменных

Смещение вследствие пропущенных переменных (англ. Omitted variable bias) — явление в регрессионном анализе, связанное с получением, смещённых и несостоятельных оценок регрессионных коэффициентов вследствие некорректной спецификации модели, а именно невключения в оцениваемую модель независимых переменных, оказывающих причинно-следственное влияние на зависимую переменную, или невозможности включить в неё некую ненаблюдаемую независимую переменную.

Формальный вывод

Представим, что истинная регрессионная модель выглядит следующим образом:

$y=\mathrm {x} '\beta +\gamma z+\epsilon ,$

где $y$ — вектор отклика, $x$ и $z$ — матрица и вектор независимых переменных. При условии, что $cor(x,~\epsilon )=0$ и $cor(z,~\epsilon )=0$, то оценки $\beta$ и $\gamma$ соответственно будут МНК-оценками регрессионной зависимости отклика от независимых переменных. В частности, ${\hat {\beta }}=(X'X)^{-1}X'y$ (где $X$ — объединённая матрица независимых переменных).

Чтобы смоделировать смещение вследствие пропущенных переменных, опустим предиктор $z$, включив его в состав нескоррелированной с $x$ части модели:

$y=\mathrm {x} '\beta +(\gamma z+\epsilon ),\quad$ где $cor(x,~(\gamma z+\epsilon ))\neq 0$.

Тогда МНК-оценки коэффициентов при предикторах будут несостоятельны в сравнении с истинным коэффициентом $\beta$:

${\hat {\beta }}=\beta +(N^{-1}X'X)^{-1}(N^{-1}X'z)\gamma +(N^{-1}X'X)^{-1}(N^{-1}X'\mathbf {\epsilon } )$

Поскольку, согласно допущению изначальной модели, $cor(x,~\epsilon )=0$, то $\mathrm {plim} \left((N^{-1}X'X)^{-1}(N^{-1}X'\mathbf {\epsilon } )\right)=0$, тогда как

$\mathrm {plim} ({\hat {\beta }})=\beta +\delta \gamma ,\quad$ откуда $\delta =\mathrm {plim} \left((N^{-1}X'X)^{-1}(N^{-1}X'z)\right)$.

Литература

• Cameron A. C., Trivedi P. K. Microeconometrics: methods and applications. – Cambridge university press, 2005. — 1034 p. — P. 92-93.
• Wooldridge J. M. Introductory Econometrics: A Modern Approach. – South-Western College Pub, 2002. — 819 p. — P. 87-92, 165-166.