Соотношение Фабер — Джексона

Соотношение Фабер — Джексона — эмпирическое степенное соотношение, связывающее светимость $L$ и центральную дисперсию скоростей $\sigma$ эллиптических галактик, впервые полученное астрономами Сандрой Фабер и Робертом Джексоном в 1976 году. Данное соотношение можно представить в виде

Зависимость дисперсии скоростей (ось y) от абсолютной звёздной величины (ось x) для некоторых эллиптических галактик, прямая линия показывает график соотношения Фабер — Джексона.

$L\propto \sigma ^{\gamma }$,

где показатель степени $\gamma$ приблизительно равен 4, но зависит от диапазона светимостей, в который вписано соотношение. Данную зависимость можно рассматривать как проекцию фундаментальной плоскости эллиптических галактик.

Соотношение Фабер — Джексона можно применять для приблизительного определения расстояния до галактик.

Теория

Гравитационный потенциал массы $M$, распределённой в объёме радиуса $R$, имеет вид

$U=-\alpha {\frac {GM^{2}}{R}},$

где $\alpha$ — постоянная, зависящая от профиля плотности объекта, $G$ — гравитационная постоянная. В случае постоянной плотности $\alpha \ ={\frac {3}{5}}$.

Кинетическая энергия ($\sigma$ — одномерная дисперсия скоростей, $3\sigma ^{2}=V^{2}$):

$K={\frac {1}{2}}MV^{2},$

$K={\frac {3}{2}}M\sigma ^{2}.$

Из теоремы вириала ($2K+U=0$) следует

$\sigma ^{2}={\frac {1}{5}}{\frac {GM}{R}}.$

Если предположить, что отношение масса-светимость является постоянным, то есть $M\propto L$, то соотношение, связывающее $R$ и $\sigma ^{2}$, будет иметь вид

$R\propto {\frac {LG}{\sigma ^{2}}}.$

Введём понятие поверхностной яркости $B=L/(4\pi R^{2})$ и предположим, что она постоянна:

$L=4\pi R^{2}B.$

Пользуясь данным предположением, получим

$L\propto 4\pi \left({\frac {LG}{\sigma ^{2}}}\right)^{2}B,$

$L\propto {\frac {\sigma ^{4}}{4\pi G^{2}B}},$

что означает $L\propto \sigma ^{4}.$

В реальности предположение постоянной поверхностной яркости не выполняется. Поверхностная яркость имеет максимальное значение при $M_{V}=-23$. Для менее массивных галактик $L\propto \sigma ^{3.1}$, для более массивных галактик $L\propto \sigma ^{15.0}.$ Таким образом, фундаментальная плоскость разделяется на две части, наклоненные относительно друг друга примерно на 11 градусов.

Определение расстояния до галактик

Как и зависимость Талли — Фишера в случае спиральных галактик, соотношение Фабер — Джексона предоставляет возможность определять расстояние до галактики, связывая его с более простыми для измерения характеристиками. Для эллиптических галактик измерение центральной дисперсии скоростей по доплеровскому сдвигу спектральных линий позволяет на основе соотношения Фабер — Джексона получить оценку светимости галактики. Сопоставление светимости и видимой звёздной величины позволяет найти модуль расстояния до галактики и, следовательно, само расстояние.

Ссылки

• Статья Faber & Jackson (1976)
• D. Gudehus: пересмотр соотношения Фабер — Джексона