Надстройка (динамические системы)

Надстройка в теории динамических систем — специальным образом построенное векторное поле, динамика которого моделирует динамику итераций данного диффеоморфизма $F:M\to M$ многообразия $M$. Процедура построения надстройки является в определённом смысле обратной к взятию отображения Пуанкаре на трансверсальном сечении к потоку, и в определённом смысле обосновывает нестрогое утверждение «эффекты, которые наблюдаются для отображений в размерности $k$, наблюдаются для потоков в размерности $k+1$». Обобщением понятия надстройки является специальный поток — в этом случае, время возвращения берётся непостоянным.

Определение

Надстройкой над диффеоморфизмом $F:M\to M$ многообразия $M$ называется поток, заданный векторным полем $\partial /\partial t$ на многообразии

${\tilde {M}}=\{(x,t)|x\in M,t\in [0,1]\}/((x,1)\sim (F(x),0)).$

Иными словами, многообразием потока является произведение $M\times [0,1]$, у которого верхняя и нижняя границы отождествлены по отображению $F$, а векторное поле просто «вертикально». Тем самым, отображение последования за время $n$ вдоль этого поля соответствует $n$ итерациям $F$ по $x$-координате.

Эти поток и многообразие можно также представить как фактор многообразия $M\times \mathbb {R}$ с «вертикальным» векторным полем $\partial /\partial t$ по (коммутирующему с этим полем) действию группы $\mathbb {Z}$, порождённому отображением $(x,t)\mapsto (F(x),t+1)$.

Обобщением понятия надстройки является специальный поток, в котором время возвращения на сечение $M\times \{0\}$ оказывается функцией. А именно, специальным потоком, соответствующим отображению $F$ и функции $\varphi$ называется поток, заданный векторным полем $\partial /\partial t$ на многообразии

${\tilde {M}}=\{(x,t)|x\in M,t\in [0,\varphi (x)]\}/((x,\varphi (x))\sim (F(x),0)).$