Стефановское течение

Стефановское течение — это явление возникновения гидродинамического течения среды в процессе испарения или роста капель.

Основной причиной возникновения этого течения является условие полного механического равновесия молекул парогазовой среды и капли.

Средний объём на одну молекулу в жидкости значительно меньше среднего объёма на одну молекулу в газе. В случае испаряющейся капли это приводило бы к тому, что концентрация паров у поверхности капли уменьшалась, что приводило бы к падению давления. Соответственно чтобы скомпенсировать этот скачок давления среда обязательно должна стягиваться к поверхности капли, образуя гидродинамическое течение среды, называемое стефановским течением.

Это явление играет большую роль в формировании климата. Его учёт очень важен в расчётах процессов переноса влаги на большие расстояния. Например известный факт, что естественный лес закачивает влажный воздух с океана, компенсируя гравитационный сток воды на больших расстояниях. Это объясняется тем что лес имеет огромную площадь поверхности за счёт листьев, на которых могут оседать капли, которые в процессе испарения могут создать течение среды, распространяющееся на значительные расстояния.

Пример: Влияние стефановского течения в задаче о квазистационарном испарении капли

Рассматривается однородная сферическая капля воды, неподвижная относительно бесконечно протяжённой изотропной среды.

Ясно, что в процессе испарения капель очевидно должна поглощаться энергия в виде тепла. В рассматриваемой задаче эти изменения не учитываются. Также в квазистационарном процессе испарения зависимость скорости изменения размеров капли от времени не учитывается в силу того, что эта скорость значительно ниже скорости гидродинамических потоков среды вокруг капли.

Однородная капля воды в парогазовой среде

Качественная зависимость распределения концентрации пара в парогазовой среде в процессе испарения капли.

Считаем, что концентрация пара у поверхности капли постоянна и равна равновесной концентрации насыщенного пара при заданной температуре над плоской границей раздела двух сред $n_{\infty }$, а на удалении от капли равна $n_{0}$.

$n(r)=n_{\infty }$, при $r=R$,

$n(r)=n_{0}$, при $r\rightarrow \infty$.

Вследствие наличия разности концентрации возникает поток водяного пара из области большей концентрации в область меньшей концентрации.

Вследствие однородности среды вектор плотности этого потока ${\vec {j}}\left(r\right)$ прямо пропорционален градиенту концентрации $n\left(r\right)$, однако направлен в противоположную сторону. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом диффузии $D=const$.

${\vec {j}}\left(r\right)=-D{\frac {dn\left(r\right)}{d{\vec {r}}}}$

Если считать, что процесс испарения капли связан только с этим потоком (решение стационарной задачи), то поток пара $I$ через любую концентрическую с каплей сферическую поверхность с радиусом $r$ есть величина постоянная $I_{0}$, и определяется выражением:

$I=-4\pi {r^{2}}D{\frac {dn\left(r\right)}{dr}}$.

Интегрирование этого выражения с учётом граничных условий приводит к формуле Максвелла.

$I={I_{0}}=4\pi RD\left({{n_{\infty }}-{n_{0}}}\right)$

Приведённое решение предполагает, что существует лишь диффузионный поток пара из капли, однако, должно существовать гидродинамическое течение среды, направленное к поверхности капли. Причиной этого течения является постоянство полного давления ${\tilde {P}}\equiv P+P'$ парогазовой среды (иначе в системе отсутствует механическое равновесие, что приводит к неоднородности среды).

Это условие приводит к тому, что наряду с градиентом парциального давления пара ${\vec {\nabla }}P$ должен существовать равный и противоположно направленный градиент парциального давления газа ${\vec {\nabla }}P'$, что можно записать в виде соотношения (здесь и далее все величины относящиеся к газовой компоненте среды будем обозначать штрихом):

${\frac {dP}{d{\vec {r}}}}=-{\frac {dP'}{d{\vec {r}}}}$.

Наличие второго градиента ${\vec {\nabla }}P'$ приводит к появлению диффузионного потока газа к поверхности капли, однако в силу того, что суммарный поток $I'$ газа на поверхности капли должен быть нулевым, существует обратный гидродинамический поток среды, компенсирующий его.

Сказанное выше может быть записано в виде уравнения:

$D{\frac {dn'\left(r\right)}{d{\vec {r}}}}={\vec {v}}\left(r\right)n'\left(r\right)$.

Имея в виду очевидное соотношение (давление пропорционально концентрации):

${\frac {dn'\left(r\right)}{d{\vec {r}}}}=-{\frac {dn\left(r\right)}{d{\vec {r}}}}$,

скорость гидродинамического течения среды ${\vec {v}}\left(r\right)$ выражается в виде:

${\vec {v}}\left(r\right)=-{\frac {D}{n'\left(r\right)}}{\frac {dn\left(r\right)}{d{\vec {r}}}}$.

В отличие от решения стационарной задачи, выражение для плотности потока пара ${\vec {j}}\left(r\right)$ теперь состоит из двух слагаемых — диффузионного и гидродинамического:

${\vec {j}}\left(r\right)=-{D{\frac {dn\left(r\right)}{d{\vec {r}}}}+{\vec {v}}\left(r\right)n\left(r\right)}$.

Соответствующее этой плотности выражение для потока пара $I$ через поверхность капли записывается в виде:

$I=4\pi RD\left({{n_{\infty }}-{n_{0}}}\right)\left(1-{\frac {n\left(r\right)}{n'\left(r\right)}}\right)$.

Поправка на гидродинамическое течение среды, как видно, определяется отношением $n\left(r\right)/n'\left(r\right)$ — отношение концентрации паров воды $n\left(r\right)$ к концентрации газа $n'\left(r\right)$ в парогазовой среде. При нормальных условиях эта величина порядка 1 %.

Впервые на наличие гидродинамического течения среды вокруг испаряющейся капли указал Йозеф Стефан.

Соответствующий этому течению поток частиц парогазовой среды принято называть стефановским.