Теорема Гарнака о кривых
Теорема Гарнака о кривых, названная именем Акселя Гарнака, даёт возможное число связных компонент, которое может иметь алгебраическая кривая в терминах степени кривой. Для любой алгебраической кривой степени m на вещественной проективной плоскости число компонент c ограничено выражением
Максимальное число компонент на единицу больше максимального рода кривой порядка m, достигаемого в случае несингулярности кривой. Более того, любое число компонент в этом диапазоне возможных значений может быть достигнуто.
Кривая, достигающая максимального числа вещественных компонент, называется M-кривой (от «maximum») . Например, эллиптическая кривая с двумя компонентами, такая как или кривая Тротта, квартика с четырьмя компонентами, являются примерами M-кривых.
Эта теорема образует предпосылки для шестнадцатой проблемы Гильберта.
В современных исследованиях показано, что кривые Гарнака — это кривые, амёба которых имеет площадь, равную многоугольнику ньютона[англ.] многочлена P, который называется характеристической кривой димерных моделей, и любая кривая Гарнака является спектральной кривой некоторой модели димеров[1][2].
Примечания
правитьЛитература
править- Гудков Д.А. Топология вещественных проективных алгебраических многообразий // Успехи математических наук. — 1974. — Т. 29, вып. 4. — С. 3–79.
- Harnack C. G. A. Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven. — Math. Ann. — 1876. — Т. 10. — С. 189–199.
- Wilson G. Hilbert's sixteenth problem // Topology. — 1978. — Т. 17. — С. 53–74.
- Richard Kenyon, Andrei Okounkov, Scott Sheffield. Dimers and Amoebae // Annals of Mathematics. — 2006. — Т. 163, вып. 3. — С. 1019–1056. — doi:10.4007/annals.2006.163.1019.
- Grigory Mikhalkin. Amoebas of algebraic varieties. — 2001.
Для улучшения этой статьи желательно:
|
Перевод с английского статьи "Harnack's curve theorem"