Теорема Гарнака о кривых, названная именем Акселя Гарнака, даёт возможное число связных компонент, которое может иметь алгебраическая кривая в терминах степени кривой. Для любой алгебраической кривой степени m на вещественной проективной плоскости число компонент c ограничено выражением

Эллиптическая кривая (степени 3) слева является M-кривой, поскольку имеет максимум (2) компонент, в то время как кривая справа имеет только одну компоненту.

Максимальное число компонент на единицу больше максимального рода кривой порядка m, достигаемого в случае несингулярности кривой. Более того, любое число компонент в этом диапазоне возможных значений может быть достигнуто.

Кривая Тротта с показанными здесь 7 касательными является квартикой (степени 4), M-кривой, достигающей максимального числа (4) компонент для кривых такой степени.

Кривая, достигающая максимального числа вещественных компонент, называется M-кривой (от «maximum») . Например, эллиптическая кривая с двумя компонентами, такая как или кривая Тротта, квартика с четырьмя компонентами, являются примерами M-кривых.

Эта теорема образует предпосылки для шестнадцатой проблемы Гильберта.

В современных исследованиях показано, что кривые Гарнака — это кривые, амёба которых имеет площадь, равную многоугольнику ньютона[англ.] многочлена P, который называется характеристической кривой димерных моделей, и любая кривая Гарнака является спектральной кривой некоторой модели димеров[1][2].

Примечания

править

Литература

править
  • Гудков Д.А. Топология вещественных проективных алгебраических многообразий // Успехи математических наук. — 1974. — Т. 29, вып. 4. — С. 3–79.
  • Harnack C. G. A. Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven. — Math. Ann. — 1876. — Т. 10. — С. 189–199.
  • Wilson G. Hilbert's sixteenth problem // Topology. — 1978. — Т. 17. — С. 53–74.
  • Richard Kenyon, Andrei Okounkov, Scott Sheffield. Dimers and Amoebae // Annals of Mathematics. — 2006. — Т. 163, вып. 3. — С. 1019–1056. — doi:10.4007/annals.2006.163.1019.
  • Grigory Mikhalkin. Amoebas of algebraic varieties. — 2001.

Перевод с английского статьи "Harnack's curve theorem"