Теорема Дезарга об инволюции

Теорема Дезарга об инволюции (ТДИ) — теорема проективной геометрии

Пары точек (X,X'), (Y,Y'), (Z,Z'), (W,W') отличаются проективной инволюцией

Проективная инволюция

Определение

Отображение $f$ называется проективной инволюцией, если $f\circ f=Id$ и $f$ сохраняет двойные (или сложные) отношения.

Свойства

1. Проективная инволюция однозначно восстанавливается по трём точкам.
2. Если $f$ — проективное отображение прямой в себя и $f(X)=X',f(X')=X$ $\Longrightarrow$ $f$ — проективная инволюция.
3. Если $f$ — проективная инволюция окружности $\Longrightarrow$ $f$ — инверсия с некоторым центром $Q$ + возможная симметрия относительно $Q$.
4. Если $f$ — проективная инволюция коники $\Longrightarrow$ $f$ — центральная проекция.

Формулировка

Даны четыре точки $A,B,C,D$ общего положения (никакие 3 точки не лежат на одной прямой) и прямая $L$, не проходящая через них. Пусть $L$ пересекает прямые $AB,CD,BC,AD,AC,BD$ в точках $X,X',Y,Y',Z,Z'$ соответственно и конику $c$, проходящую через $A,B,C,D$ в точках $W,W'$. Тогда на прямой $L$ существует проективная инволюция $f:X\leftrightarrow X',Y\leftrightarrow Y',Z\leftrightarrow Z',W\leftrightarrow W'$

Доказательство

Рассмотрим проективное преобразование $f$ такое, что $f(W)=W',f(W')=W,f(X)=X'$ (такое преобразование существует, так как проективное преобразование прямой определяется заданием трёх пар соответствующих по отображению точек. Это утверждение часто называют основной теоремой проективной геометрии). Тогда из свойства 1 следует, что $f$ — проективная инволюция $\Longrightarrow f(X)=X'$. Докажем, что $f(Z')=Z$ . Из точки $A$ спроецируем четыре точки $W,X,Z,W'$ на конику $c$, получим равенство двойных отношений $[W,W';X,Z]=[W,W';B,C]$, затем спроецируем эти точки из $D$ обратно на прямую $L$, получим $[W,W';X,Z]=[W,W';B,C]=[W,W';Z',X']$. Теперь применим преобразование $f$ к двойному отношению $[W,W';Z',X']$. Тогда $[W,W';Z',X']=[W',W,f(Z'),X]=[W,W';X,f(Z')]$, то есть $[W,W';X,Z]=[W,W';X,f(Z')]$. Из полученного равенства следует, что $f(Z')=Z$.

Утверждение, что $f(Y')=Y$ доказывается аналогично. Таким образом, теорема доказана.

Вариации и обобщения

Пары точек (X,X'), (Y,Y'), (Z,Z') отличаются проективной инволюцией

Теорема Дезарга об инволюции для треугольника

Рассмотрим все коники, проходящие через три точки $A,B,C$ общего положения, касательную $t$ в точке $A$ и произвольную прямую $e$, не проходящую через эти точки. Пусть $e$ пересекает $AB,AC,t,BC$ в точках $X,X',Y,Y'$ соответственно, а конику в точках $Z,Z'$, тогда существует проективная инволюция $f:X\leftrightarrow X',Y\leftrightarrow Y',Z\leftrightarrow Z'$

ТДИ, двойственная

Двойственная теорема

Коника $c$ вписана в четырехугольник $ABCD$, $AB\cap CD=P,BC\cap AD=Q$. Вне коники $c$ и не на прямых $AB,BC,CD,DA$ выбрана точка $N$. Тогда существует проективная инволюция $f:N\longrightarrow N$, меняющая местами пары прямых $NA\leftrightarrow NC,NB\leftrightarrow ND,NP\leftrightarrow NQ$ и касательные из $N$ к конике $c$. Справедливость этой теоремы следует из проективного принципа двойственности.