Теорема Дирихле о рядах Фурье

Теорема Дирихле о разложении периодической функции в ряд Фурье.

Формулировка[1] править

Пусть f(x) — периодическая функция с периодом 2 π, пусть на интервале от до π функция f(x) имеет конечное количество точек строгого экстремума и может иметь конечное количество точек разрыва, причем только первого рода, тогда такая функция разлагается в ряд Фурье:

где a0, an, bn — коэффициенты Фурье:

f(x-0) и f(x+0) — левосторонний и правосторонний пределы функции f в точке x.

Замечание править

Если x — точка непрерывности функции f(x), то

То есть в точках непрерывности ряд Фурье сходится к значению этих точек, а в точках разрыва к среднему арифметическому между левосторонним и правосторонним пределами.

Примечания править

  1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления В 3 т. Т III. / Пред. и прим. А. А. Флоринского. — 8-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. — С. 492-493. — 728 с. — ISBN 978-5-9221-0466-1.