Теорема Карлемана о квазианалитических классах функций

Теорема Карлемана о квазианалитических классах функций — утверждение о необходимых и достаточных условиях квазианалитичности класса функций. Была доказана Карлеманом в 1926 году. Играет важную роль в функциональном анализе.

Квазианалитический класс функций

Пусть $A_{0}=1,A_{1},...,A_{n}$ - последовательность положительных чисел. Обозначим $C_{A}$ множество функций, определённых на интервале $\left(-1,1\right)$, бесконечно дифференцируемых на нём и удовлетворяющих неравенствам $\max _{-1\leqslant x\leqslant 1}\left|f^{(\nu )}(x)\right|\leqslant B^{\nu }A_{\nu }$, где $\nu =0,1,2,...$, $B$ - константа, зависящая от $f(x)$.

Класс $C_{A}$ называется квазианалитическим, если функция, ему принадлежащая, полностью определяется на интервале $\left(-1,1\right)$ значениями своих производных $f^{(\nu )}(x)$ в одной точке $x_{0}$. То есть если из равенств $f^{(\nu )}(x_{0})=0$ и принадлежности $f(x)$ классу $C_{A}$ следует, что $f(x)\equiv 0$.

Формулировка

Необходимым и достаточным условием квазианалитичности класса $C_{A}$ является расходимость интеграла

$\int _{0}^{\infty }\lg \left(\sum _{\nu =0}^{\infty }{\frac {v^{2\nu }}{A_{\nu }^{2}}}\right){\frac {dx}{1+x^{2}}}$

или, что то же самое, расходимость наименьшей невозрастающей мажоранты ряда

$\sum _{\nu =0}^{\infty }{\frac {1}{A_{\nu }^{\frac {1}{\nu }}}}$

См. также

• Квазианалитическая функция