Теорема Каулинга

Теоре́ма Ка́улинга — теорема о невозможности стационарного осесимметричного МГД-динамо. Другими словами, двумерные или осесимметричные поля скорости проводящей жидкости не могут генерировать постоянно растущее магнитное поле.

Формулировка теоремы

Стационарное осесимметричное динамо невозможно.

Дипольное поле

В осесимметричном поле существует линия O-типа (нейтральная), на этой линии поле равно нулю.

$B={\frac {1}{r^{3}}}$

Пусть поле линейно растет с увеличением R

$(\mathrm {rot} {\vec {B}})_{\varphi }={\frac {\partial B_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial B_{z}}{\partial r}}\neq 0,\ {\vec {j}}_{\varphi }\neq 0$

$\oint \limits _{O}{\vec {j}}_{\varphi }\,{\vec {dl}}=2\pi R{\vec {j}}_{\varphi }\neq 0$

$\oint \limits _{O}{\vec {j}}_{\varphi }\,{\vec {dl}}=\sigma \oint \limits _{O}\left[{\vec {E}}+{\frac {{\vec {v}}\times {\vec {B}}}{c}}\right]\,{\vec {dl}}$

Пусть $\left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]\neq 0$, тогда $v_{z}B_{\varphi }-v_{\varphi }B_{z}\neq 0$, но на линии O и $v_{\varphi }$, и $B_{z}$ равны нулю, следовательно, наше предположение неверно, то есть $\left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]=0$. Тогда имеем

$\oint \limits _{O}{\vec {j}}_{\varphi }\,{\vec {dl}}=\sigma \oint \limits _{O}{\vec {E}}\,{\vec {dl}}=\sigma \int \mathrm {rot} {\vec {E}}\,{\vec {ds}}=-{\frac {\sigma }{c}}\int {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\,{\vec {ds}}=-{\frac {\sigma }{c}}{\frac {d\Phi }{dt}}$

где введено обозначение для потока магнитного поля через контур:

$\Phi =\int \limits _{0}^{R}2\pi rB_{z}\,dr$

Таким образом, имеем неравенство

${\frac {d\Phi }{dt}}\neq 0$

то есть поток нестационарен, что противоречит определению линии О, откуда можно сделать вывод, что первоначальное предположение неверно, и в дипольном поле существование динамо невозможно.

Тороидальное поле

Рассмотрим тороидальное магнитное поле

$B_{\varphi }\neq 0$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {B_{\varphi }}{r\rho }}\right)={\frac {c^{2}}{4\pi \sigma \rho r}}\left\{{\frac {\partial }{\partial r}}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rB_{\varphi }\right)\right]+{\frac {\partial ^{2}B_{\varphi }}{\partial z^{2}}}\right\}$

где

${\frac {c^{2}}{4\pi \sigma \rho r}}$ — коэффициент диффузии.

Сравнивая с уравнением диффузии понимаем, что динамо невозможно.

Существующие динамо

Если условия теоремы не выполняются (то есть поле скорости трёхмерно), то генерация магнитного поля возможна. Существуют многочисленные аналитические и экспериментальные примеры:

• Динамо Пономаренко — винтовое динамо.
• ABC-динамо
• Динамо Гайлитиса — первый успешный динамо-эксперимент.

См. также

• Число Каулинга