Теорема Каулинга

Теоре́ма Ка́улинга — теорема о невозможности стационарного осесимметричного МГД-динамо. Другими словами, двумерные или осесимметричные поля скорости проводящей жидкости не могут генерировать постоянно растущее магнитное поле[1].

Формулировка теоремыПравить

Стационарное осесимметричное динамо невозможно.

Плоский случайПравить

Дипольное полеПравить

В осесимметричном поле существует линия O-типа (нейтральная), на этой линии поле равно нулю.

 

Пусть поле линейно растет с увеличением R

 
 
 

Пусть  , тогда  , но на линии O и  , и   равны нулю, следовательно, наше предположение неверно, то есть  . Тогда имеем

 

где введено обозначение для потока магнитного поля через контур:

 

Таким образом, имеем неравенство

 

то есть поток нестационарен, что противоречит определению линии О, откуда можно сделать вывод, что первоначальное предположение неверно, и в дипольном поле существование динамо невозможно.

Тороидальное полеПравить

Рассмотрим тороидальное магнитное поле

 
 

где

  — коэффициент диффузии.

Сравнивая с уравнением диффузии понимаем, что динамо невозможно.

Существующие динамоПравить

Если условия теоремы не выполняются (то есть поле скорости трёхмерно), то генерация магнитного поля возможна. Существуют многочисленные аналитические и экспериментальные примеры:

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Cowling T. G. The Magnetic Field of Sunspots (англ.) // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society : journal. — Oxford University Press, 1933. — Vol. 94. — P. 39—48. — doi:10.1093/mnras/94.1.39. — Bibcode1933MNRAS..94...39C.