В математике теоремой Люка́ называется следующее утверждение об остатке от деления биномиального коэффициента на простое число p:

где и  — представления чисел m и n в p-ричной системе счисления.

В частности, биномиальный коэффициент делится на простое число p нацело тогда и только тогда, когда хотя бы одна p-ричная цифра числа n превышает соответствующую цифру числа m.

Теорема была впервые выведена французским математиком Эдуардом Люка в 1878 году.

Доказательство править

Рассмотрим коэффициент при   в многочлене   над конечным полем  . С одной стороны, он попросту равен  . С другой стороны, так как

 

то, чтобы из последнего произведения получить коэффициент при  , нужно из нулевого сомножителя взять коэффициент при  , из первого — коэффициент при  , a в общем случае из  -го сомножителя — коэффициент при  . Приравнивая коэффициенты, получаем

 

Литература править