Теорема Мюнтца — Саса

Теорема Мюнтца — Саса — утверждение о достаточном условии равномерной аппроксимации произвольной непрерывной функции степенными полиномами и достаточном условии её невозможности. Была доказана Мюнтцем в 1914 г. и Сасом в 1916 г. Играет важную роль в функциональном анализе.

Равномерная аппроксимация функции

Говорят, что функцию $f(x)$ можно равномерно аппроксимировать полиномами $a_{k}x^{\lambda _{k}}$ на интервале $(a,b)$ с точностью $\epsilon$, если $\max _{a\leqslant x\leqslant b}\left|f(x)-\sum _{1}^{n}a_{k}x^{\lambda _{k}}\right|<\epsilon$.

Формулировка

Пусть $\lambda _{n}$ - множество комплексных чисел с положительной вещественной частью. Произвольную непрерывную функцию можно равномерно аппроксимировать на интервале $(0,1)$ полиномами $C+\sum a_{n}x_{n}^{\lambda }$, если

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {Re\lambda _{n}}{1+|\lambda _{n}^{2}|}}=\infty$.

Такая аппроксимация всякой непрерывной функции невозможна, если

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1+Re\lambda _{n}}{1+|\lambda _{n}^{2}|}}<\infty$.

См. также

• Теорема Саса