Теорема Саса

Теорема Саса — утверждение о необходимых и достаточных условиях замкнутости класса степенных функций. Была доказана Сасом в 1916 году. Играет важную роль в функциональном анализе.

Замкнутое множество функций

Множество функций $\left\{f_{n}(x)\right\}$ называется замкнутым на интервале $(a,b)$, если из условия $\int _{a}^{b}f(x)f_{n}(x)dx=0,n=1,2,...$ следует, что $f(x)$ обращается в нуль всюду, кроме множества меры нуль, если только $f(x)\in L^{2}$, то есть её квадрат модуля интегрируем.

Формулировка

Пусть $\lambda _{n}$ - множество комплексных чисел с вещественными частями, превосходящими $-{\frac {1}{2}}$. Для того, чтобы множество степенных функций $\left\{x^{\lambda _{n}}\right\}$ было замкнуто в $L^{2}$ на интервале $(0,1)$ необходимо и достаточно, чтобы $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2Re\lambda _{n}}{1+|\lambda _{n}^{2}|}}=\infty$.

См. также

• Lp (пространство)
• Теорема Мюнтца-Саса