Теорема Пенлеве — утверждение о свойствах решений дифференциальных уравнений первого порядка в комплексной области. Доказана французским математиком Полем Пенлеве в 1887 году[1][2]

Формулировка

править

Уравнения первого порядка  , алгебраические относительно неизвестной функции и её производной (то есть   — многочлен относительно   и   и аналитическая функция от  ), не могут иметь в интегралах подвижных трансцендентных и существенно особых точек.

Пояснения

править

Особой точкой называется точка, где нарушается аналитичность функции комплексного переменного[3]. Существенно особой точкой называется особая точка, если есть пути, ведущие к ней, вдоль которых функция не стремится к определённому пределу [4]. Особая точка называется трансцендентной, если область неопределенности состоит из одной точки и существенно особой, если область неопределенности состоит не из одной точки[4]. Особая точка интеграла, положение которой не зависит от начальных данных, определяющих интеграл, называется неподвижной особой точкой и особая точка, положение которой зависит от начальных данных, определяющих интеграл, называется подвижной особой точкой [5].

Доказательство

править

Доказательство теоремы Пенлеве занимает три страницы в книге [6].

См. также

править

Примечания

править

Литература

править
  • Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — М.Л.: ГОСТЕХТЕОРИЗДАТ, 1941. — 400 с.
  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Физматлит, 1958. — 678 с.