Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве

Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве — важный результат функционального анализа, утверждающий, что всякая сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов представляется в виде:

$U_{t}=e^{it{\hat {H}}}\quad t\in \mathbb {R}$,

где ${\hat {H}}$ — некоторый самосопряженный оператор, а $t$ — параметр. Верно и обратное: всякому самосопряженному оператору ${\hat {H}}$ с помощью представления Стоуна можно поставить в соответствие сильно непрерывную однопараметрическую группу унитарных операторов.

Теорема была доказана американским математиком Маршаллом Стоуном в 1930 году и имела большое значение для становления квантовой механики, а также послужила толчком к созданию теории Купмана — фон Неймана.

Сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов обладает следующими свойствами:

$\lim _{t\rightarrow t_{0}}U_{t}\xi =U_{t_{0}}\xi \quad \forall t_{0}\in \mathbb {R} ,\xi \in H$

$U_{t+s}=U_{t}U_{s}$.

Важность результата для физики заключается в том, что он гарантирует существование и единственность решений уравнений Шрёдингера и Лиувилля, а также сохранение нормировок волновых функций.

Ссылки

• Stone, M. H. (1930), "Linear Transformations in Hilbert Space. III. Operational Methods and Group Theory", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, National Academy of Sciences, 16 (2): 172—175, ISSN 0027-8424
• Stone, M. H. (1932), "On one-parameter unitary groups in Hilbert Space", Annals of Mathematics, 33 (3): 643—648
• K. Yosida, Functional Analysis, Springer-Verlag, (1968).