Теорема Таубера

Теорема Таубера — теорема о свойствах степенных рядов вблизи границы круга сходимости. Является простейшей обратной теоремой к теореме Абеля о сходимости степенных рядов. Доказана А. Таубером в 1897 году. Впоследствии была сформулирована и доказана при более общих условиях другими авторами (Теорема Абеля — Таубера).

Формулировка

Если $a_{n}=o\left({\frac {1}{n}}\right)$ при $n\to \infty$, и $\lim \limits _{x\to 1-0}\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)=s$, то ряд $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ сходится, причём к сумме $s$.

Пояснения

Здесь равенство $f(x)=o(\varphi (x))$ означает, что ${\frac {f(x)}{\varphi (x)}}\rightarrow 0$, когда $x$ стремится к заданному пределу (см. О-нотация).

Доказательство

Достаточно доказать, что при $N=\left[{\frac {1}{(1-x)}}\right]$ и $x\rightarrow 1-0$ выполняется

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}-\sum _{n=0}^{N}a_{n}\rightarrow 0$.

то есть

$\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}x^{n}-\sum _{n=0}^{N}a_{n}(1-x^{n})\rightarrow 0$.

Обозначим:

$S_{1}=\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}x^{n}$,

$S_{2}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}(1-x^{n})$.

Очевидно:

$\left|S_{1}\right|=\left|\sum _{n=N+1}^{\infty }na_{n}{\frac {x^{n}}{n}}\right|<{\frac {\varepsilon }{N+1}}\sum _{n=N+1}^{\infty }x^{n}<{\frac {\varepsilon }{(N+1)(1-x)}}<\varepsilon$.

Вследствие того, что

$1-x^{n}=(1-x)(1+x+...+x^{n-1})<n(1-x)$

вытекает:

$\left|S_{2}\right|<(1-x)\sum _{n=0}^{N}n\left|a_{n}\right|\leqslant {\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N}n\left|a_{n}\right|$.

В силу леммы правая часть стремится к нулю, так что и $\left|S_{2}\right|<\varepsilon$, при достаточно больших $N$, получаем $\left|S_{1}-S_{2}\right|<2\varepsilon$. Доказательство теоремы завершено.

Лемма

Если $b_{n}\rightarrow 0$ при $n\rightarrow \infty$, то ${\frac {b_{0}+b_{1}+...+b_{n}}{n+1}}\rightarrow 0$.

Всегда можно найти такие числа $K$, $\epsilon$, $n_{0}$, что $\left|b_{n}\right|<K$ при всех $n$ и $\left|b_{n}\right|<\epsilon$ при $n>n_{0}$.

Возьмем $n>n_{0}$ и $n>(n_{0}+1){\frac {K}{\epsilon }}$.

Имеем:

$\left|{\frac {b_{0}+b_{1}+...+b_{n}}{n+1}}\right|\leqslant \left|{\frac {b_{0}+b_{1}+...+b_{n_{0}}}{n+1}}\right|+\left|{\frac {b_{n_{0}+1}+b_{n_{0}+2}+...+b_{n}}{n+1}}\right|\leqslant {\frac {(n_{0}+1)K}{n+1}}+{\frac {(n-n_{0})\epsilon }{n+1}}<2\epsilon$.

Доказательство леммы завершено.

Литература

• Е. Титчмарш. Теория функций. — Наука, 1980. — 464 с.