Теорема Феничеля

Теорема Феничеля является одним из классических результатов теории быстро-медленных систем. Она гарантирует существование локально инвариантных множеств для медленного многообразия системы.

Теорема формулируется для быстро-медленной системы вида $\left\{{\begin{matrix}{\dot {x}}=f(x,y,\varepsilon )\\{\dot {y}}=\varepsilon g(x,y,\varepsilon )\end{matrix}}\right.$ (1)

Формулировка

Пусть для любого вектора $y$ связной области $D\subset \mathbb {R} ^{m}$ существует решение $x=x_{*}(y)$ уравнения $f(x,y,0)=0$ гладко зависящее от $y$, такое, что матрица $f'_{x}(x_{*}(y),y,0)$ является гиперболической. Обозначим локальные устойчивое и неустойчивое многообразия неустойчивого положения равновесия $x_{*}(y)$ системы ${\dot {x}}=f(x,y,0)$ за $W_{0}^{s}(x_{*}(y))$ и $W_{0}^{u}(x_{*}(y))$ соответственно. Тогда существует $\varepsilon _{0}>0$ такое, что для любого $0<\varepsilon <\varepsilon _{0}$ в фазовом пространстве системы (1) существует локально инвариантное гиперболическое множество $M_{\varepsilon }$, лежащее в $\varepsilon$-окрестности множества $M_{0}=\bigcup _{y\in {\mathcal {D}}}x_{*}(y)$, локальные инвариантные устойчивое и неустойчивое многообразия которого $O(\varepsilon )$-близки к $\bigcup _{y\in {\mathcal {D}}}W_{0}^{s,u}(x_{*}(y))$.