Теорема о приведении матрицы к диагональной форме

Теорема о приведении матрицы к диагональной форме — утверждение о возможности приведения диагонализируемой вещественной квадратной матрицы к диагональному виду при помощи умножения на две вещественные ортогональные матрицы. Допускает обобщение на случай любой вещественной матрицы. Имеет большое значение в линейной алгебре и вычислительной математике.

Формулировка

Для диагонализируемой вещественной квадратной матрицы $A$ размера $n\times n$ существуют две вещественные ортогональные $n\times n$ матрицы $U$ и $V$, такие, что $U^{T}AV$ диагональная матрица $D$. При этом можно выбрать $U$ и $V$ так, чтобы диагональные элементы $D$ имели вид: $\mu _{1}\geqslant \mu _{2}\geqslant ...\geqslant \mu _{r}>\mu _{r+1}=...=\mu _{n}=0$, где $r$ - ранг матрицы $A$. В том случае, если $A$ невырожденна, $\mu _{1}\geqslant \mu _{2}\geqslant ...\geqslant \mu _{n}>0$.

Обобщение

Для любой вещественной матрицы $A$ ранга $r$, имеющей $n$ строк и $k$ столбцов существуют вещественная ортогональная $n\times n$ матрица $U$ и вещественная ортогональная $k\times k$ матрица$V$, такие, что $U^{T}AV$ является $n\times k$ матрицей вида:

$D={\begin{bmatrix}\mu _{1}&0&\cdots &0\\0&\mu _{2}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &0\end{bmatrix}}$

где $\mu _{1}\geqslant \mu _{2}\geqslant ...\geqslant \mu _{r}>0$.

Литература

• Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. — М.: Мир, 1969. — 167 с.