Теорема о частном

Теорема о частном — утверждение о том, что если результат умножения вектора на величину с произвольным числом верхних и нижних индексов является тензором для любого вектора, то величина с верхними и нижними индексами является тензором.

Формулировка

Пусть величина $P_{\lambda \mu \nu }$ такова, что для любого вектора $A^{\nu }$ величина $A^{\lambda }P_{\lambda \mu \nu }$ является тензором. В этом случае величина $P_{\lambda \mu \nu }$ является тензором.

Доказательство

Рассмотрим преобразование от старой криволинейной системы координат, где вектор имеет координаты $x^{\mu }$ к новой системе координат, где этот же вектор имеет координаты $x^{\mu '}$. Условимся обозначать ${\frac {\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\nu }}}=x_{,\nu }^{\mu '}$. Обозначим величину $Q_{\mu \nu }=A^{\lambda }P_{\lambda \mu \nu }$. По условию, $Q_{\mu \nu }$ есть тензор, поэтому $Q_{\beta \gamma }=Q_{\mu '\nu '}x_{,\beta }^{\mu '}x_{,\gamma }^{\nu '}$. Тогда $A^{\alpha }P_{\alpha \beta \gamma }=A^{\lambda '}P_{\lambda '\mu '\gamma '}x_{,\beta }^{\mu '}x_{,\gamma }^{\nu '}$. Так как $A^{\lambda }$ является вектором, по правилам преобразования векторов имеем: $A^{\lambda '}=A^{\alpha }x_{,\alpha }^{\lambda '}$. Таким образом: $A^{\alpha }P_{\alpha \beta \gamma }=A^{\alpha }x_{,\alpha }^{\lambda '}P_{\lambda '\mu '\nu '}x_{,\beta }^{\mu '}x_{,\gamma }^{\nu '}$ Это равенство должно быть верным для всех $A^{\alpha }$, следовательно $P_{\alpha \beta \gamma }=P_{\lambda '\mu '\nu '}x_{,\alpha }^{\lambda '}x_{,\beta }^{\mu '}x_{,\gamma }^{\nu '}$. Величина $P_{\alpha \beta \gamma }$ является тензором. Доказательство нетрудно обобщить на любое число верхних и нижних индексов.

Литература

• Дирак П.А.М. Общая теория относительности. — М.: Атомиздат, 1978. — 64 с.