Теоремы Томсона и Тета

Теоремы Томсона и Тета ― формулируют условия, необходимые для того, чтобы можно было стабилизировать гироскопическими силами неустойчивую потенциальную систему. Были доказаны в 1879 г.. Пользуясь теоремой Томсона и Тета, можно исследовать устойчивость волчка, системы инерциальной навигации и гироскопического однорельсового вагона.

Первая теорема Томсона и Тета

Если неустойчивость невозмущенного движения потенциальной системы имеет нечётную степень, то стабилизировать движение нельзя никакими гироскопическими силами.

Вторая теорема Томсона и Тета

Если невозмущенное движение $z=0$ и ${\dot {z}}=0$ потенциальной системы устойчиво, то при добавлении произвольных гироскопических и диссипативных сил (не обязательно полной диссипации) устойчивость движения сохраняется.

Третья теорема Томсона и Тета

Если невозмущенное движение $z=0$ и ${\dot {z}}=0$ устойчиво при одних потенциальных силах, то оно становится асимптотически устойчивым при добавлении произвольных гироскопических и диссипативных сил с полной диссипацией.

Четвёртая теорема Томсона и Тета

Невозмущенное движение $z=0$ и ${\dot {z}}=0$, неустойчивое под действием потенциальных сил, остаётся неустойчивым при добавлении произвольных гироскопических и диссипативных сил с полной диссипацией.

Пояснения

Степенью неустойчивости называется число отрицательных коэффициентов $c_{k}$ в системе $s$ уравнений ${\ddot {z_{1}}}+c_{1}z_{1}=0,...{\ddot {z_{s}}}+c_{s}z_{s}=0$, описывающей движение возмущённой системы.

Гироскопическими называются силы $F=G{\dot {x}}$, линейно зависящие от скоростей и имеющие кососимметрическую матрицу коэффициентов $G=\left\|g_{kj}\right\|$

Диссипативными называются силы $F=B{\dot {x}}$, линейно зависящие от скоростей и имеющие симметрическую матрицу коэффициентов $B=\left\|b_{kj}\right\|$, такую, что квадратичная форма $F={\frac {1}{2}}B{\dot {x}}\cdot {\dot {x}}$ положительна.

Литература

• Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. — М.: Наука, 1971. — 312 с.