Теория амёб

Теория амёб — раздел комплексного анализа, изучающий геометрию алгебраических множеств. Находит широкое применение в алгебраической и тропической геометрии.^[1]

Определения

Пусть $V$ — множество нулей полинома Лорана

p(z)=\sum _{\alpha \in A}c_{\alpha }z_{1}^{\alpha _{1}}\cdot \ldots \cdot z_{n}^{\alpha _{n}},A\subset \mathbb {Z} ^{n},n\geqslant 1

.

Амёбой ${\mathcal {A}}_{V}$ алгебраического множества $V$ называется его образ при логарифмическом проектировании

\mathrm {Log} :(\mathbb {C} \setminus \{0\})^{n}\to \mathbb {R} ^{n}

,

определяемом формулой $\mathrm {Log} (z)=(\log |z_{1}|,\ldots ,\log |z_{n}|)$ .

Коамёбой ${\mathcal {A}}_{V}^{*}$ алгебраического множества $V$ называется его образ при отображении

\mathrm {Arg} :(\mathbb {C} \setminus \{0\})^{n}\to S^{1}\times \ldots \times S^{1}

,

определяемом формулой $\mathrm {Arg} (z)=(\arg z_{1},\ldots ,\arg z_{n})$ .

Свойства

Амёба и коамёба двойственные объекты — являются проекциями $2\pi i$ -периодического множества $\mathrm {Ln} V=\{\zeta :p(e^{\zeta _{1}},\ldots ,e^{\zeta _{n}})=0\}$ на вещественное и мнимое подпространство. Теория амёб позволяет наглядно изучать геометрию гиперповерхностей и кривых, расположенных в 4-х и 6-и мерном пространстве ( $\mathbb {C} ^{2}$ , $\mathbb {C} ^{3}$ ), что явилось причиной бурного развития теории в начале XXI века.^[2]