Ультраметрическое пространство

Ультраметрическое пространство — особый случай метрического пространства, в котором метрика удовлетворяет усиленному неравенству треугольника:

В ультраметрическом пространстве у треугольника не бывает самой длинной стороны: либо равны все три, либо одна короче, а остальные две — равны

Такую метрику называют ультраметрикой. Проще говоря, в ультраметрическом пространстве нельзя получить большее расстояние, складывая меньшие, то есть не соблюдается «принцип Архимеда».

Определение

править

Ультраметрическое пространство — это пара  , где   — множество, а   — вещественнозначная функция на нём, также называемая метрикой, удовлетворяющая следующим условиям:

  1.   (положительная определённость)
  2.   (симметричность)
  3.   (сильное неравенство треугольника)

Ультраметрическое пространство отличается от метрического тем, что неравенство треугольника заменено на усиленное неравенство треугольника.

Свойства

править
  • Всякий треугольник является равнобедренным, причём если не все его стороны равны, то одна — короче, чем две других.
  • Всякая точка шара является его центром.
  • Если два шара имеют общую точку, то либо они совпадают, либо один целиком содержит другой.
  • Топология ультраметрического пространства является вполне разрывной.

Примеры

править
  • Дискретная метрика (то есть расстояние между двумя точками равно 0, если они совпадают, и 1 если не совпадают) является ультраметрикой.
  • Метрика на   такая, что   при  , и  .
  • Множество слов произвольной длины некоторого алфавита   с ультраметрикой, заданной как  , где   — номер первого символа, различного в словах   и  .
  • p-адические числа образуют ультраметрическое пространство с естественной ультраметрикой.
  • Модели, наделённые естественной ультраметрикой, возникают в теории информации при исследовании последовательностей символов и в физике твёрдого тела при изучении спиновых стёкол.

Литература

править