Формула Якоби

Для термина «Якоби» см. также другие значения.

Формула Якоби — формула, связывающая определитель матрицы, удовлетворяющей дифференциальному уравнению, в начале интервала интегрирования с определителем матрицы в конце интервала интегрирования.

Формулировка

Пусть $X(t)$ — решение уравнения ${\dot {X}}=A(t)X$, где $X,A$ — матрицы. Тогда:

$\det X=\exp \left(\int _{0}^{t}trA(s)ds\right)\det X(0)$

Доказательство

Можно доказать, что ${\dot {(\det X)}}=(\det X)(tr{\dot {X}}X^{-1})$ . В доказуемой формуле ${\dot {X}}X^{-1}=A(t)$. Таким образом, функция $y(t)=\det X(t)$ удовлетворяет условию ${\dot {(\ln y)}}={\frac {\dot {y}}{y}}=trA(t)$. Поэтому $y(t)=c\exp \left(\int _{0}^{t}trA(s)ds\right)$, где $c=y(0)=\det X(0)$.

Литература

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.