Открыть главное меню

Формула произведения корангов — математическая формула, выражающая коразмерность множества точек, в которых ядро производной отображения имеет заданную размерность, в виде произведения корангов данного отображения в прообразе и образе.

ФормулировкаПравить

Корангом линейного отображения   в прообразе (в образе) называется число   (соответственно,  ), где   — ранг отображения  . Коранги связаны с размерностью ядра   (обозначим её  ) формулами:   и  [1].

Пусть   — гладкое отображение гладких многообразий   и   размерностей   и  , соответственно. Символом   обозначается его производная в точке  , то есть линейное отображение касательных пространств  .

Точка   принадлежит множеству     если размерность ядра производной   в этой точке равна  . Множества   заведомо покрывают всё многообразие  , однако, как правило, в этой цепочке не все множества являются непустыми (например, в случае   имеет место неравенство  , из которого с учетом соотношения   следует, что  , то есть множество   пусто).

Теорема. Для отображения   общего положения все множества   являются гладкими подмногообразиями в  . При этом имеет место соотношение

 

где   — ранг отображения   называемое формулой произведения корангов[1].

Вычисленное по этой формуле значение   может быть отрицательным. Это означает, что соответствующее множество   пусто.

Следствие. В пространстве матриц типа   множество матриц ранга   образует гладкое многообразие коразмерности  [1].

ЛитератураПравить

  • Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.