Формула произведения корангов

Формула произведения корангов — математическая формула, выражающая коразмерность множества точек, в которых ядро производной отображения имеет заданную размерность, в виде произведения корангов данного отображения в прообразе и образе.

Формулировка

Корангом линейного отображения $A:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ в прообразе (в образе) называется число $m-r$ (соответственно, $n-r$), где $r$ — ранг отображения $A$. Коранги связаны с размерностью ядра $A$ (обозначим её $i$) формулами: $m-r=i$ и $n-r=n-m+i$.

Пусть $f:M^{m}\to N^{n}$ — гладкое отображение гладких многообразий $M^{m}$ и $N^{n}$ размерностей $m$ и $n$, соответственно. Символом $f_{*x}$ обозначается его производная в точке $x\in M^{m}$, то есть линейное отображение касательных пространств $f_{*x}:T_{x}M^{m}\to T_{f(x)}N^{n}$.

Точка $x\in M^{m}$ принадлежит множеству $\Sigma ^{i},$ $i\geq 0,$ если размерность ядра производной $f_{*x}$ в этой точке равна $i$. Множества $\Sigma ^{0},\ldots ,\Sigma ^{m}$ заведомо покрывают всё многообразие $M^{m}$, однако, как правило, в этой цепочке не все множества являются непустыми (например, в случае $n>m$ имеет место неравенство $r\leq n<m$, из которого с учетом соотношения $m-r=i$ следует, что $i>0$, то есть множество $\Sigma ^{0}$ пусто).

Теорема. Для отображения $f:M^{m}\to N^{n}$ общего положения все множества $\Sigma ^{i}$ являются гладкими подмногообразиями в $M^{m}$. При этом имеет место соотношение $m-\dim \,\Sigma ^{i}=(m-r)(n-r),$ где $r=m-i$ — ранг отображения $f_{*x},$ называемое формулой произведения корангов.

Вычисленное по этой формуле значение $\dim \Sigma ^{i}$ может быть отрицательным. Это означает, что соответствующее множество $\Sigma ^{i}$ пусто.

Следствие. В пространстве матриц типа $(m,n)$ множество матриц ранга $r$ образует гладкое многообразие коразмерности $(m-r)(n-r)$.

Литература

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.