Функции Йоста

Функции Йоста (решения Йоста, англ. Jost functions, англ. Jost solutions) — решения одномерного уравнения Шрёдингера для спадающего на бесконечности потенциала.

Математическое определение

Постановка задачи

Рассматривается одномерный оператор Шрёдингера вида

$H=-{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}+u(x),\quad x\in \mathbb {R} ,$

где потенциал $u(x)$ определен на множестве действительных чисел как функция, принадлежащая к классу локально интегрируемых. Соответствующая задача нахождения собственных чисел $\lambda =k^{2}$ будет иметь вид

$-\psi (x)''+u(x)\psi (x)=k^{2}\psi (x).$

Определение

Наложим на потенциал условие в виде

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }(1+|x|)|u(x)|\mathrm {d} x<\infty ,$

означающее, что функция $u(x)$ спадает при $|x|\to \infty$ быстрее, чем 1/x². Это означает, что для действительных k существуют решения одномерного уравнения Шрёдингера, однозначно определяемые асимптотиками на бесконечности

$f_{1}(x,k)=e^{-ikx}+o(1),\quad x\to -\infty ,$

$f_{2}(x,k)=e^{ikx}+o(1),\quad x\to \infty ,$

называемые решениями Йоста в честь швейцарского физика Реса Йоста. В общем случае (так же и для комплексных k) можно показать, что при заданном выше условии на $u(x)$, существует четыре решения одномерного уравнения Шрёдингера, удовлетворяющие интегральным уравнениям

$f_{1}(x,k)=e^{-ikx}-\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {\sin k(\xi -x)}{k}}u(\xi )f_{1}(\xi ,k)\mathrm {d} \xi ,$

${\overline {f_{1}}}(x,k)=e^{-ikx}-\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {\sin k(\xi -x)}{k}}u(\xi ){\overline {f_{1}}}(\xi ,k)\mathrm {d} \xi ,$

$f_{2}(x,k)=e^{ikx}+\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin k(\xi -x)}{k}}u(\xi )f_{2}(\xi ,k)\mathrm {d} \xi ,$

${\overline {f_{2}}}(x,k)=e^{ikx}+\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin k(\xi -x)}{k}}u(\xi ){\overline {f_{2}}}(\xi ,k)\mathrm {d} \xi ,$

где черта сверху означает комплексное сопряжение. При этом сами функции и их производные по x непрерывны по k при $\mathrm {I} m\,k\geq 0$ и аналитичны при $\mathrm {I} m\,k>0$ и эти решения единственные. Уравнения для функций Йоста можно получить непосредственно из граничных условий и уравнения Шрёдингера с помощью функции Грина в виде

$G(x,\xi ,k)=\left\lbrace {\begin{array}{ll}{\frac {\sin k(\xi -x)}{k}},&\xi <x\\0,&\xi >x\end{array}}\right.,$

или непосредственной подстановкой.

Использование

Функции Йоста применяются в задачах рассеяния и теории солитонов.