Функции Йоста (решения Йоста, англ. Jost functions, англ. Jost solutions) — решения одномерного уравнения Шрёдингера для спадающего на бесконечности потенциала.

Математическое определение

править

Постановка задачи

править

Рассматривается одномерный оператор Шрёдингера вида

 

где потенциал   определен на множестве действительных чисел как функция, принадлежащая к классу локально интегрируемых. Соответствующая задача нахождения собственных чисел   будет иметь вид[1]

 

Определение

править

Наложим на потенциал условие в виде

 

означающее, что функция   спадает при   быстрее, чем 1/x2. Это означает, что для действительных k существуют решения одномерного уравнения Шрёдингера, однозначно определяемые асимптотиками на бесконечности

 
 

называемые решениями Йоста[1] в честь швейцарского физика Реса Йоста.[2] В общем случае (так же и для комплексных k) можно показать, что при заданном выше условии на  , существует четыре решения одномерного уравнения Шрёдингера, удовлетворяющие интегральным уравнениям

 
 
 
 

где черта сверху означает комплексное сопряжение. При этом сами функции и их производные по x непрерывны по k при   и аналитичны при   и эти решения единственные.[3] Уравнения для функций Йоста можно получить непосредственно из граничных условий и уравнения Шрёдингера с помощью функции Грина в виде

 

или непосредственной подстановкой.[4]

Использование

править

Функции Йоста применяются в задачах рассеяния и теории солитонов.[5][6]

Примечания

править
  1. 1 2 Takhtadzhian, 2008, p. 155.
  2. Scheck, 2007, p. 157.
  3. Додд и др., 1988, с. 125—127.
  4. Новокшенов, 2002, с. 42—43.
  5. Takhtadzhian, 2008, pp. 136—139.
  6. Новокшенов, 2002, с. 41—46.

Литература

править
  1. Додд, Р., Эйлбек, Дж., Гиббон, Дж., Моррис, X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М.: Мир, 1988. — 694 с.
  2. Новокшенов, В. Ю. Введение в теорию солитонов. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 96 с. — ISBN 5-93972-100-1.
  3. Slavianinov, S. Iu. Asymptotic solutions of the one-dimensional Schrödinger equation. — American Mathematical Soc., 1996. — Vol. 151. — 190 p. — (Translations of mathematical monographs, Lectures in Applied Mathematics). — ISBN 9780821805367.
  4. Scheck, F. Quantum physics. — Springer, 2007. — 738 p. — ISBN 9783540256458.
  5. Takhtadzhian, L. A. Quantum mechanics for mathematicians. — American Mathematical Soc., 2008. — Vol. 95. — 387 p. — (Graduate studies in mathematics). — ISBN 9780821846308.