Жорданов тотиент

(перенаправлено с «Функция Жордана»)

Пусть натуральное число. Жорданов тотиент или Функция Жордана[1] положительного целого — это число -кортежей положительных целых чисел, меньших либо равных , образующих -кортеж, наибольший общий делитель которых взаимно прост с . Функция является обобщением функции Эйлера, которая равна . Функция носит имя французского математика Жордана.

ОпределениеПравить

Функция Жордана мультипликативна и может быть вычислена по формуле

 , где   пробегает по простым делителям  .

СвойстваПравить

  •  ,

что можно записать на языке свёрток Дирихле как[2]

 ,

а через обращения Мёбиуса как

 .

Поскольку производящая функция Дирихле   равна  , а производящая функция Дирихле   равна  , ряд для   превращается в

 .
 .
 ,

и при исследовании определения (обратим внимание, что каждый множитель в произведении по простым является круговым многочленом  ), можно показать, что арифметические функции, определённые как   или  , являются целочисленными мультипликативными функциями.

  •  .       [3][4]

Порядок групп матрицПравить

Полная линейная группа матриц порядка   над   имеет порядок[5]

 

Специальная линейная группа порядка   над   имеет порядок

 

Симплектическая группа матриц порядка   над   имеет порядок

 

Первые две формулы были открыты Жорданом.

ПримерыПравить

Списки в OEIS J2 в A007434, J3 в A059376, J4 в A059377, J5 в A059378, от J6 до J10 в списках A069091A069095.


Мультипликативные функции, определённые отношением J2(n)/J1(n) в A001615, J3(n)/J1(n) в A160889, J4(n)/J1(n) в A160891, J5(n)/J1(n) в A160893, J6(n)/J1(n) в A160895, J7(n)/J1(n) в A160897, J8(n)/J1(n) в A160908, J9(n)/J1(n) в A160953, J10(n)/J1(n) в A160957, J11(n)/J1(n) в A160960.


Примеры отношений J2k(n)/Jk(n): J4(n)/J2(n) в A065958, J6(n)/J3(n) в A065959 и J8(n)/J4(n) в A065960.

ПримечанияПравить

  1. Существуют и другие функции Жордана. Так, Мерзляков пишет: «Теорема. Существует «Функция Жордана»   со следующим свойством: всякая конечная группа G из   содержит абелеву нормальную подгруппу A с индексом  
  2. Sándor, Crstici, 2004, с. 106.
  3. Holden, Orrison, Varble.
  4. Формула Гегенбауэра
  5. Andrica, Piticari, 2004.

ЛитератураПравить

СсылкиПравить

  • Мерзляков Ю.И. Рациональные группы. — Москва: «Наука», 1980. — (Современная алгебра).