Жорданов тотиент

(перенаправлено с «Функция Жордана»)

Жорданов тотиент или Функция Жордана[1] — количество -кортежей натуральных чисел меньших либо равных , образующих вместе с набор взаимно простых (в совокупности) чисел. Функция является обобщением функции Эйлера, которая равна . Функция носит имя французского математика Жордана.

Определение

править

Функция Жордана мультипликативна и может быть вычислена по формуле

 , где   пробегает простые делители числа  .

Свойства

править
  •  ,
что можно записать на языке свёрток Дирихле как[2]
 ,
а через обращения Мёбиуса как
 .
Поскольку производящая функция Дирихле   равна  , а производящая функция Дирихле   равна  , ряд для   превращается в
 .
 .
 ,

и при исследовании определения (обратим внимание, что каждый множитель в произведении по простым является круговым многочленом  ), можно показать, что арифметические функции, определённые как   или  , являются целочисленными мультипликативными функциями.

  •  .       [3][4]

Порядок групп матриц

править

Полная линейная группа матриц порядка   над   имеет порядок[5]

 

Специальная линейная группа порядка   над   имеет порядок

 

Симплектическая группа матриц порядка   над   имеет порядок

 

Первые две формулы были открыты Жорданом.

Примеры

править

Списки в OEIS J2 в A007434, J3 в A059376, J4 в A059377, J5 в A059378, от J6 до J10 в списках A069091 — A069095.

Мультипликативные функции, определённые отношением J2(n)/J1(n) в A001615, J3(n)/J1(n) в A160889, J4(n)/J1(n) в A160891, J5(n)/J1(n) в A160893, J6(n)/J1(n) в A160895, J7(n)/J1(n) в A160897, J8(n)/J1(n) в A160908, J9(n)/J1(n) в A160953, J10(n)/J1(n) в A160957, J11(n)/J1(n) в A160960.

Примеры отношений J2k(n)/Jk(n): J4(n)/J2(n) в A065958, J6(n)/J3(n) в A065959 и J8(n)/J4(n) в A065960.

Примечания

править
  1. Существуют и другие функции Жордана. Так, Мерзляков пишет: «Теорема. Существует „Функция Жордана“   со следующим свойством: всякая конечная группа G из   содержит абелеву нормальную подгруппу A с индексом  
  2. Sándor, Crstici, 2004, с. 106.
  3. Holden, Orrison, Varble.
  4. Формула Гегенбауэра
  5. Andrica, Piticari, 2004.

Литература

править
  • Dickson L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. I. — Chelsea Publishing, 1971. — С. 147. — ISBN 0-8284-0086-5.
  • M. Ram Murty. Problems in Analytic Number Theory. — Springer-Verlag, 2001. — Т. 206. — С. 11. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-95143-1.
  • Jozsef Sándor, Borislav Crstici. Handbook of number theory II. — Dordrecht: Kluwer Academic, 2004. — С. 32–36. — ISBN 1-4020-2546-7.
  • Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble. Yet another Generalization of Euler's Totient Function. Архивировано 5 марта 2016 года.
  • Dorin Andrica, Mihai Piticari. On some Extensions of Jordan's arithmetical Functions // Acta universitatis Apulensis. — 2004. — № 7.

Ссылки

править
  • Мерзляков Ю.И. Рациональные группы. — Москва: «Наука», 1980. — (Современная алгебра).