Пси-функция Дедекинда

Пси-функция Дедекинда — это мультипликативная функция, определённая на положительных целых числах как

$\psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right),$

где произведение берётся по всем простым p, делящим n (по соглашению, ψ(1) является пустым произведением, а потому имеет значение 1). Функцию предложил Рихард Дедекинд применительно к модулярным функциям.

Значение функции ψ(n) для первых нескольких целых чисел n:

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24 ... (последовательность A001615 в OEIS).

Значение функции ψ(n) больше n для всех n, больших 1, и чётно для всех n, больших 2. Если n свободно от квадратов, то ψ(n) = σ(n).

Функцию ψ можно определить, положив $\psi (p^{n})=(p+1)p^{n-1}$ для степеней простого числа p и распространив затем это определение на все целые числа согласно мультипликативности. Это приводит к доказательству порождающей функции в терминах дзета-функции Римана, которая равна

$\sum {\frac {\psi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s)}}.$

Это является также следствием факта, что мы можем записать как свёртку Дирихле $\psi =\mathrm {Id} *|\mu |$.

Высокие порядки

Обобщением к высоким порядкам через жорданов тотиент

$\psi _{k}(n)={\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}$

с рядом Дирихле

$\sum _{n\geqslant 1}{\frac {\psi _{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s)}}$.

Это также свёртка Дирихле степеней и квадратов функции Мёбиуса,

$\psi _{k}(n)=n^{k}*\mu ^{2}(n)$.

Если

$\epsilon _{2}=1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0\ldots$

является характеристической функцией квадратов, другая свёртка Дирихле приводит к обобщённой σ-функции,

$\epsilon _{2}(n)*\psi _{k}(n)=\sigma _{k}(n)$.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Dedekind Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.