Пси-функция Дедекинда

Пси-функция Дедекинда — это мультипликативная функция, определённая на положительных целых числах как

где произведение берётся по всем простым p, делящим n (по соглашению, ψ(1) является пустым произведением[en], а потому имеет значение 1). Функцию предложил Рихард Дедекинд применительно к модулярным функциям.

Значение функции ψ(n) для первых нескольких целых чисел n:

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24 ... (последовательность A001615 в OEIS).

Значение функции ψ(n) больше n для всех n, больших 1, и чётно для всех n, больших 2. Если n свободно от квадратов, то ψ(n) = σ(n).

Функцию ψ можно определить, положив для степеней простого числа p и распространив затем это определение на все целые числа согласно мультипликативности. Это приводит к доказательству порождающей функции в терминах дзета-функции Римана, которая равна

Это является также следствием факта, что мы можем записать как свёртку Дирихле .

Высокие порядкиПравить

Обобщением к высоким порядкам через жорданов тотиент

 

с рядом Дирихле

 .

Это также свёртка Дирихле степеней и квадратов функции Мёбиуса,

 .

Если

 

является характеристической функцией квадратов, другая свёртка Дирихле приводит к обобщённой σ-функции,

 .

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Goro Shimura. Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions. — Princeton, 1971. — С. 25, equation (1).
  • Carella N. A. Squarefree Integers And Extreme Values Of Some Arithmetic Functions. — 2010.
  • Richard J. Mathar. Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions. — 2011. Section 3.13.2
  • A065958 is ψ2, A065959 is ψ3, and A065960 is ψ4

СсылкиПравить