Формула Серсика

Формула Серсика — эмпирическая формула распределения поверхностной яркости в галактиках. Является более общей формулой, чем закон де Вокулёра, и хорошо описывает различные галактики и отдельные компоненты их структуры.

Вид одномерной функции Серсика при различных $n$ и одинаковых $r_{e}$ и $I_{e}$

Формула названа в честь аргентинского астронома Хосе Луиса Серсика, который её впервые использовал.

Формула

Двумерные функции Серсика для нескольких разных $n$. Для всех моделей $r_{e}$ одинаково (показано как радиус окружности внизу справа), $I_{e}$ отличается таким образом, что полная светимость всех моделей одинакова

Формула Серсика (иногда закон Серсика или закон r^1/n) для галактик выражает зависимость между поверхностной яркостью $I$ в точке и её угловым расстоянием до центра галактики $r$. Формулу можно записать следующим образом:

${\frac {I(r)}{I_{e}}}=\exp \left[-\nu _{n}\left(\left[{\frac {r}{r_{e}}}\right]^{1/n}-1\right)\right]\,,$

где $I_{e}$ — поверхностная яркость на расстоянии $r_{e}$ от центра, которое называется эффективным радиусом, внутри которого излучается половина полной светимости галактики.

Положительная величина $n$ называется индексом Серсика и характеризует общий вид распределения: при небольших $n$ распределение яркости становится более равномерным и более резко обрывается к краю, в то время как при больших $n$ в центре возникает резкий пик яркости, а во внешних частях яркость с удалением от центра убывает медленнее.

Величина $\nu _{n}$ — коэффициент, выбираемый таким образом, чтобы внутри радиуса $r_{e}$ излучалась половина полной светимости галактики. Коэффициент $\nu _{n}$ не независим и связан с $n$ (см. ниже).

Другое распространённое представление формулы Серсика имеет вид:

$I(r)=I_{0}e^{-\nu _{n}\alpha ^{1/n}}\,,$

где $I_{0}$ — центральная поверхностная яркость, а $\alpha =r/r_{e}$. Между $I_{0}$ и $I_{e}$ выполняется соотношение $I_{e}=I_{0}e^{-\nu _{n}}$.

Также можно записать формулу Серсика, если использовать поверхностную яркость в звёздных величинах на квадратную секунду дуги $\mu$:

$\mu (r)=\mu _{0}+{\frac {2{,}5\nu _{n}}{\ln 10}}\left({\frac {r}{r_{e}}}\right)^{1/n}\,,$

где $\mu _{0}$ — звёздная величина на квадратную секунду, соответствующая $I_{0}$. Если аналогично определить $\mu _{e}$, то будет верно $\mu _{e}=\mu _{0}+2{,}5\nu _{n}/\ln 10$.

Связь между n и ν_n

По определению, $\nu _{n}$ выбирается так, чтобы внутри $r_{e}$ излучалась половина полной светимости галактики. Тогда её можно найти через функцию $L(<r)$, которая выражает полную светимость $L$ внутри круга с радиусом $r$. Функцию можно записать в виде интеграла по радиусу:

$L(<r)=\int _{0}^{r}I(R)2\pi RdR\,.$

После раскрытия $I(R)$ и замены $x=\nu _{n}(r/r_{e})^{1/n}$ получается:

$L(<r)=I_{0}r_{e}^{2}{\frac {2\pi n}{(\nu _{n})^{2n}}}\gamma (2n,x)\,,$

где $\gamma$ ― неполная гамма-функция, определяемая следующим образом:

$\gamma (\eta ,x)=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{\eta -1}dt\,.$

Функция $L(<r)$ будет равна полной светимости $L_{T}$, если $r=\infty$. С учётом того, что $\gamma (\eta ,\infty )=\Gamma (\eta )$, где $\Gamma (\eta )$ — гамма-функция:

$L_{T}=I_{0}r_{e}^{2}{\frac {2\pi n}{(\nu _{n})^{2n}}}\Gamma (2n)\,.$

Поскольку внутри $r_{e}$ излучается половина полной светимости галактики, то можно записать уравнение:

$\Gamma (2n)=2\gamma (2n,\nu _{n})\,.$

Получается, что $\nu _{n}$ зависит от $n$. Для данного уравнения на практике применимы численные решения, но также хорошую точность дают линейные приближения: например, в диапазоне $0{,}5<n<10$ применимо приближение $\nu _{n}=1{,}9992n-0{,}3271$. Если галактика имеет эллиптическую, а не круговую форму, то формулы для $L(<r)$ и $L_{T}$ нужно домножить на $1-\varepsilon$ — здесь $\varepsilon =1-b/a$ — видимая эллиптичность, а $b/a$ — отношение осей эллипса, описывающего изофоту.

Частные случаи и сходные формулы

Формула Серсика при некоторых $n$ совпадает с другими функциями: при $n=4$ функция переходит в закон де Вокулёра, при $n=1$ — в убывающую показательную функцию, при $n=0{,}5$ — в функцию Гаусса.

Профиль Эйнасто, который используется для описания распределения плотности в гало тёмной материи, математически описывается той же функцией, что и закон Серсика. Он может быть записан как пропорциональность $\rho (r)\propto e^{-(r/r_{*})^{\alpha }}$, где $\rho$ — плотность тёмной материи на расстоянии $r$ от центра, $r_{*}$ — характерный радиус, а $\alpha$ — параметр, эквивалентный $1/n$, в то время как подобная пропорциональность для закона Серсика выглядит как $I(r)\propto e^{-(r/r_{e})^{1/n}}$.

Применение

Закон Серсика хорошо описывает распределение яркости как в целых галактиках, так и в отдельных её частях. Распределение поверхностной яркости в большинстве балджей и в эллиптических галактиках невысокой яркости хорошо моделируются законом Серсика при $1<n<4$. Для балджей с невысокой светимостью в основном подходит $n=1$, а для наиболее ярких балджей и ярких эллиптических галактик — $n=4$ (закон Вокулёра), и в среднем подходящий $n$ увеличивается с ростом светимости балджа. Для дисков галактик обычно $n=1$. Для баров закон Серсика также может использоваться — в этом случае обычно $0{,}5<n<1$, однако нередко бывает и вне этого значения.

С развитием компьютерных методов анализа изображений наиболее распространённым стал анализ составляющих галактик по отдельности, в том числе с использованием функции Серсика для их описания, а не апроксимация изображения галактики законом Серсика целиком.

Закон Серсика является полностью эмпирическим и не следует из каких-либо теоретических соображений, хотя в численных моделях воспроизводятся распределения яркости, описываемые законом Серсика. Например, в моделях в результате слияний галактик с сопоставимыми массами получившаяся система распределения яркости близка к закону Серсика с $n=4$, в то время как распределения яркости с $n=1$ появляются в результате «спокойной» динамической эволюции.

Показатель $n$ для конкретной галактики коррелирует с её морфологическим типом. Для эллиптических галактик и балджей наблюдается корреляция $n$ с множеством параметров, среди которых — светимость и размеры, масса чёрной дыры в центре и центральная дисперсия скоростей.

• Несколько галактик, для которых проводилась апроксимация распределения яркости законом Серсика, изображения SDSS (в скобках указано полученное $n$)
• 
  NGC 2976 ($n\approx 0{,}55$)
• 
  NGC 428 ($n\approx 1{,}2$)
• 
  M 74 ($n\approx 2{,}1$)
• 
  M 81 ($n\approx 3{,}4$)
• 
  M 84 ($n\approx 4{,}9$)

История

Формула Серсика названа в честь аргентинского астронома Хосе Луиса Серсика, который впервые использовал её. В 1968 году он опубликовал «Атлас южных галактик» и применил свою формулу, чтобы описать распределение яркости во всех достаточно крупных галактиках атласа. Серсик также показал, что параметр $n$ коррелирует с морфологическим типом галактики.

Сам Серсик рассматривал свою формулу как обобщение закона де Вокулёра, который Жерар Анри де Вокулёр предложил в 1948 году.

Литература

• Засов А. В., Постнов К. А. Общая астрофизика. — 2-е изд. испр. и дополн. — Фрязино: Век 2, 2011. — 576 с. — ISBN 978-5-85099-188-3.