Мера Хаусдорфа — собирательное название класса мер, определённых на борелевской -алгебре метрического пространства . Построены Феликсом Хаусдорфом.[1]

Определение

править

Рассмотрим некоторый класс   открытых подмножеств  , на котором определим неотрицательную функцию   и

 

где нижняя грань берётся по всем конечным или счётным покрытиям борелевского множества   множествами из   с диаметром, не превосходящим  , то есть

 

и

 

Мерой Хаусдорфа  , определяемой классом   и функцией  , называется предел

 

Примеры

править
  1. Пусть   — совокупность всех шаров в  , a  , где  . Тогда соответствующая мера   будет называться  -мерой Хаусдорфа. При   такая мера будет называться линейной мерой Хаусдорфа, а при   — плоской мерой Хаусдорфа.
  2. Если  ,   — совокупность цилиндров с шаровыми основаниями и осями, параллельными направлению оси   и   равна  -мерному объёму осевого сечения цилиндра  , то соответствующая мера Хаусдорфа называется цилиндрической мерой.

Литература

править
  • Данфорд, Н., Шварц, Дж. Линейные операторы. Общая теория. — пер. с англ.. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — Т. 1. — 896 с. — ISBN 5-354-00601-5..

Примечания

править
  1. Hausdorff, Felix (1918), "Dimension und äusseres Mass", Mathematische Annalen, 79 (1–2): 157—179, doi:10.1007/BF01457179.