Ядро (статистика)

Ядром (англ. kernel) в статистике и эконометрике называют окно (весовую функцию). Байесовская, непараметрическая статистика и теория распознавания образов трактуют термин по-разному.

Непараметрическая статистика

В непараметрической статистике под ядром понимается весовая функция, используемая при оценке распределений и параметров (ядерная оценка плотности, ядерная регрессия). Ядра также применяются при анализе временных рядов. Ядерная оценка требует специфицировать ширину окна.

Определение

Основная статья: Интегральные преобразования

Неотрицательная вещественнозначная интегрируемая функция K называется ядром. В большинстве случаев желательно, чтобы функция удовлетворяла ещё двум требованиям:

• Нормирование:

$\int _{-\infty }^{+\infty }K(u)\,du=1\,;$

• Симметрия:

$K(-u)=K(u)\quad \forall u\,.$

Если функция обладает первым свойством, то результатом ядерной оценки плотности действительно будет плотность вероятности. Второе свойство гарантирует, что среднее значение распределения равно среднему использованной выборки.

Если функция K является ядром, то ядром будет и функция K*(u) = λK(λu) при λ > 0. Данный результат позволяет выбрать масштаб, подходящий для имеющихся данных.

Часто используемые ядерные функции

В практике распространены несколько типов ядер: равномерное, треугольное, Епанечниково, гауссово и проч.

Ниже дана таблица с перечнем часто используемых ядер. Если носитель ядра K ограничен, то для всех значений u вне носителя $K(u)=0$.

Ядерные функции, K(u)			$\textstyle \int u^{2}K(u)du$	$\textstyle \int K(u)^{2}du$	Эффективность относительно Епанечникова ядра
Равномерное	$K(u)={\frac {1}{2}}$ Носитель: $|u|\leq 1$		${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{2}}$	92.9%
Треугольное	$K(u)=(1-|u|)$ Носитель: $|u|\leq 1$		${\frac {1}{6}}$	${\frac {2}{3}}$	98.6%
Епанечниково (параболическое)	$K(u)={\frac {3}{4}}(1-u^{2})$ Носитель: $|u|\leq 1$		${\frac {1}{5}}$	${\frac {3}{5}}$	100%
Биквадратное	$K(u)={\frac {15}{16}}(1-u^{2})^{2}$ Носитель: $|u|\leq 1$		${\frac {1}{7}}$	${\frac {5}{7}}$	99.4%
Триквадратное	$K(u)={\frac {35}{32}}(1-u^{2})^{3}$ Носитель: $|u|\leq 1$		${\frac {1}{9}}$	${\frac {350}{429}}$	98.7%
Трикубическое	$K(u)={\frac {70}{81}}(1-{\left|u\right|}^{3})^{3}$ Носитель: $|u|\leq 1$		${\frac {35}{243}}$	${\frac {175}{247}}$	99.8%
Гауссово	$K(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}u^{2}}$		$1\,$	${\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}$	95.1%
Косинусоидальное	$K(u)={\frac {\pi }{4}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}u\right)$ Носитель: $|u|\leq 1$		$1-{\frac {8}{\pi ^{2}}}$	${\frac {\pi ^{2}}{16}}$	99.9%
Логистическое	$K(u)={\frac {1}{e^{u}+2+e^{-u}}}$		${\frac {\pi ^{2}}{3}}$	${\frac {1}{6}}$	88.7%
Сигмоидальное	$K(u)={\frac {2}{\pi }}{\frac {1}{e^{u}+e^{-u}}}$		${\frac {\pi ^{2}}{4}}$	${\frac {2}{\pi ^{2}}}$	84.3%
Сильвермана	$K(u)={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {|u|}{\sqrt {2}}}}\cdot \sin \left({\frac {|u|}{\sqrt {2}}}+{\frac {\pi }{4}}\right)$		$0$	${\frac {3{\sqrt {2}}}{16}}$	не определена

Графики некоторых ядер

См. также

• Ядерная оценка плотности (оценка плотности)
• Ядерное сглаживание
• Стохастическое ядро

Литература

• Li, Qi; Racine, Jeffrey S. Nonparametric Econometrics: Theory and Practice (англ.). — Princeton University Press, 2007. — ISBN 0-691-12161-3.

• Zucchini, Walter APPLIED SMOOTHING TECHNIQUES Part 1: Kernel Density Estimation  (неопр.). Дата обращения: 12 августа 2015. Архивировано из оригинала 5 марта 2016 года.

• Comaniciu, D; Meer, P. Mean shift: A robust approach toward feature space analysis (англ.) // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence : journal. — 2002. — Vol. 24, no. 5. — P. 603—619. — doi:10.1109/34.1000236.