Уравнения Дена — Соммервиля

Уравнения Дена — Сомервиля — полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника. Эти уравнения можно переписать для симплициальных многогранников поскольку последние двойственны к простым многогранникам.

Формулировка

Для данного простого $n$-мерного многогранника $P$ обозначим через $f_{k}$ количество граней $P$ размерности $k$; в частности, $f_{n}=1$. Рассмотрим формальную сумму

$\sum _{k}f_{k}\cdot (t-1)^{k}=\sum _{k}h_{k}\cdot t^{k}$

где $h_{k}=\sum _{i\geqslant k}f_{i}(-1)^{i-k}{\binom {i}{k}}$, то есть коэффициенты $h_{k}$ возникают естественным образом при раскрытии скобок левой суммы.

Тогда уравнения Дена — Сомервиля имеют вид

$h_{k}=h_{n-k}$

для каждого целого $k$.

Связанные определения

• Последовательность $(f_{0},f_{1},\dots ,f_{n})$ называется f-вектором многогранника.
• Последовательность $(h_{0},h_{1},\dots ,h_{n})$ называется h-вектором многогранника.
  • Если $\ell \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ — линейная функция общего положения, то есть все вершины многогранника $P$ лежат на разных уровнях $\ell$, тогда $h_{k}$ равно числу вершин $P$ индекса $k$; то есть ровно $k$ рёбер из этой вершины идут вниз по $\ell$. Уравнения Дена — Сомервиля получаются заменой $\ell$ на $-\ell$.
    • В дополнении получаем $h_{k}\geqslant 0$ для любого $k$, это даёт нетривиальные неравенства на $f$-вектор.

История

В размерности 4 и 5 соотношения были описаны Максом Деном. В общем случае уравнения были описаны Дунканом Сомервилем в 1927.

Литература

• В. А. Тиморин. Комбинаторика выпуклых многогранников. — МЦНМО, 2002. — (Летняя школа «Современная математика»). — ISBN 5-94057-024-0.