t-критерий Уэлча

(перенаправлено с «T-тест Уэлча»)

t-критерий Уэлча — тест, основанный на распределении Стьюдента и предназначенный для проверки статистической гипотезы о равенстве математических ожиданий случайных величин, имеющих необязательно равные известные дисперсии. Является модификацией t-критерия Стьюдента. Назван в честь британского статистика Бернарда Льюиса Уэлча.

Предпосылки

править

Для применения двухвыборочного t-критерия Стьюдента необходимо, чтобы истинные дисперсии были равны. В случае t-критерия Уэлча истинные дисперсии уже могут быть не равны, но предпосылка о нормальном распределении средних сохраняется.

Вычисление статистики

править

Пусть даны две независимые выборки нормально распределённых случайных величин:

 

 

Проверяем следующую нулевую гипотезу о равенстве математический ожиданий:

 

Пусть нулевая гипотеза верна. Тогда   и  . Пусть   и   — несмещенные оценки дисперсий   и   соответственно. Рассчитаем следующую статистику:

 

Сделаем следующее преобразование:

 

Распределение первой статистики является стандартным нормальным распределением:

 

Рассмотрим вторую статистику и для дальнейших вычислений назовем её  :

 

Статистика   напоминает случайную величину с распределением хи-квадрат, поделенную на степень свободы, но таковой не является. Пусть   является случайной величиной с распределением хи-квадрат с   степенями свободы. Тогда  , равно как и  . Теперь заметим, что   (так как мы используем несмещенные оценки дисперсий), а  .

Раз мы хотим, чтобы   была максимально похожа на  , то приравняем дисперсии данных случайных величин:

 

Рассчитаем дисперсию случайной величины  :

 

Отсюда:

 

В конечном итоге имеем при справедливости нулевой гипотезы:

 ,

где   находится как:

 

При достаточно больших объёмах выборок мы можем воспользоваться нормальной аппроксимацией:

 

Двухвыборочный t-критерий Уэлча для независимых выборок

править

Пусть даны две независимые выборки нормально распределённых случайных величин:

 

 

При нулевой гипотезе   мы рассчитываем следующую статистику:

 

Пусть альтернативная гипотеза  .

При справедливости нулевой гипотезы распределение   будет приблизительно являться распределением Стьюдента с   степенями свободы:

 ,

где   находится как:

 

Следовательно, при превышении значения наблюдаемой статистики по абсолютной величине критического значения данного распределения (при заданном уровне значимости) нулевая гипотеза отвергается.

Пример

править

В следующих примерах будем сравнивать t-критерий Стьюдента и t-критерий Уэлча. Выборки сгенерированы модулем numpy.random для языка программирования Python.

Для всех трех примеров математические ожидания будут равны   и   соответственно.

В первом примере истинные дисперсии равны ( ) и объёмы выборок равны ( ). Обозначим за   и   как соответствующие случайные выборки:

 

Во втором примере истинные дисперсии неравны ( ,  ) и неравные объёмы у выборок ( , ). У меньшей выборки большая дисперсия:

 

В третьем примере истинные дисперсии неравны ( ,  ) и неравные объёмы у выборок ( , ). У большей выборки большая дисперсия:

 
Выборка   Выборка   t-критерий Стьюдента t-критерий Уэлча
Пример                  -value  -value      -value  -value
1 15 20.29 4.61 15 22.67 4.35 -3.07 28 0.005 0.005 −3.07 28.0 0.005 0.004
2 10 21.10 21.01 20 22.22 1.04 −1.06 28 0.299 0.465 −0.76 9.57 0.464 0.459
3 10 20.27 1.31 20 22.89 16.69 −1.97 28 0.059 0.015 −2.66 23.28 0.014 0.018

Для равных дисперсий и равных объёмов выборок t-критерий Стьюдента и t-критерий Уэлча выдали примерно одинаковый результат (пример 1). Для неравных дисперсий t-критерий Уэлча точнее оценивает истинное распределение статистики, чем t-критерий Стьюдента ( -value для t-критерия Уэлча ближе к моделированной  -value, чем для t-критерия Стьюдента).

Если неизвестно, равны ли дисперсии двух генеральных совокупностей, крайне не рекомендуется проводить пре-тесты для определения равенства дисперсий, а лучше сразу использовать t-критерий Уэлча.[1]

Реализация в различных ПО

править
Язык программирования / ПО Функция Примечание
LibreOffice TTEST(Data1; Data2; Mode; Type) Подробнее[2]
MATLAB ttest2(data1, data2, 'Vartype', 'unequal') Подробнее[3]
Microsoft Excel до 2010 TTEST(array1, array2, tails, type) Подробнее[4]
Microsoft Excel 2010 and позднее T.TEST(array1, array2, tails, type) или ТТЕСТ(массив1;массив2;хвосты;тип) Подробнее[5][6]
Python scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=False) Подробнее[7]
R t.test(data1, data2, alternative="two.sided", var.equal=FALSE) Подробнее[8]
Haskell Statistics.Test.StudentT.welchTTest SamplesDiffer data1 data2 Подробнее[9]
Julia UnequalVarianceTTest(data1, data2) Подробнее[10]
Stata ttest varname1 == varname2, welch Подробнее[11]
Google Sheets TTEST(range1, range2, tails, type) Подробнее[12]

Литература

править

B. L. Welch The Generalization of `Student’s' Problem when Several Different Population Variances are Involved // Vol. 34, No. 1/2 (Jan., 1947), pp. 28-35

Примечания

править
  1. The unequal variance t-test is an underused alternative to Student’s t-test and the Mann-Whitney U test| Oxford Academic. Дата обращения: 31 мая 2020. Архивировано 10 августа 2020 года.
  2. Statistical Functions Part Five - LibreOffice Help. Дата обращения: 31 мая 2020. Архивировано 28 февраля 2014 года.
  3. Two-sample t-test - MATLAB ttest2 - MathWorks United Kingdom. Дата обращения: 31 мая 2020. Архивировано 5 августа 2016 года.
  4. Архивированная копия. Дата обращения: 31 мая 2020. Архивировано 21 марта 2014 года.
  5. T.TEST function - Office Support. Дата обращения: 31 мая 2020. Архивировано 3 марта 2014 года.
  6. ТТЕСТ (функция ТТЕСТ) - Служба поддержки Office
  7. scipy.stats.ttest_ind — SciPy v1.5.2 Reference Guide. Дата обращения: 31 мая 2020. Архивировано 23 октября 2013 года.
  8. R: Student's t-Test. Дата обращения: 31 мая 2020. Архивировано 29 ноября 2016 года.
  9. Statistics.Test.StudentT. Дата обращения: 31 мая 2020. Архивировано 13 июня 2021 года.
  10. Welcome to Read the Docs — HypothesisTests.jl latest documentation. Дата обращения: 31 мая 2020. Архивировано 29 марта 2016 года.
  11. Stata 16 help for ttest. Дата обращения: 31 мая 2020. Архивировано 7 января 2010 года.
  12. T.TEST - Docs Editors Help. Дата обращения: 31 мая 2020. Архивировано 16 апреля 2021 года.