Брахистохрона

Брахистохро́на (от греч. βράχιστος «кратчайший» + χρόνος «время») — кривая скорейшего спуска. Задача о её нахождении была поставлена в июне 1696 года Иоганном Бернулли следующим образом:

Среди плоских кривых, соединяющих две данные точки $A$ и $B$, лежащих в одной вертикальной плоскости ($B$ ниже $A$), найти ту, двигаясь по которой под действием только силы тяжести, сонаправленной отрицательной полуоси $OY$, материальная точка из $A$ достигнет $B$ за кратчайшее время.

Решением задачи о брахистохроне является дуга циклоиды с горизонтальным основанием, точка возврата которой находится в точке $A$, или иными словами, имеющая вертикальную касательную в точке $A$.

Примечательно, что время спуска до нижней точки не зависит от расположения начальной точки на дуге циклоиды.

Решение задачи о брахистохроне

Движение тел по различным траекториям. Красная линия — брахистохрона

На статью Иоганна Бернулли откликнулись Исаак Ньютон, Якоб Бернулли, Г. В. Лейбниц, Г. Ф. Лопиталь, Э. В. Чирнхаус. Все они, как и сам Иоганн Бернулли, решили задачу разными способами. Метод решения, полученного 26 января 1697 года Исааком Ньютоном, лёг в основу важнейшей области естествознания — вариационного исчисления.

Пусть имеются две произвольные точки, расположенные на разных ординатах. Далее пусть произвольная материальная точка M скатывается от точки A к точке B под действием только силы тяжести (силы трения отсутствуют). Найдём такую траекторию, при которой время скатывания будет минимально.

Направим ось ординат вниз и сопоставим начальной точке нулевое значение ординаты. Запишем закон сохранения энергии для материальной точки M:

${\frac {mv^{2}}{2}}=mgy,$

где

$m$ — масса тела,

$g$ — ускорение свободного падения,

$y$ — ордината,

$v$ — скорость движения тела.

Получаем:

$v={\sqrt {2gy}},$

откуда можно найти значение проекции скорости на ось $x$:

$v_{x}={\frac {v}{\sqrt {1+(y')^{2}}}}={\frac {\sqrt {2gy}}{\sqrt {1+(y')^{2}}}}.$

Поскольку время на спуск равняется $\int _{a}^{b}{\frac {1}{v_{x}}}\,dx$, то задача сводится к минимизации значения интеграла

${\frac {1}{\sqrt {2g}}}\int _{a}^{b}{\sqrt {\frac {1+(y')^{2}}{y}}}\,dx.$

Литература

• Клейбер И. А. Брахистохрона // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки

• Страница с Java-апплетом, строящим брахистохрону и анимирующим движение по ней
• Решение Я. Бернулли задачи о брахистохроне