Алгебра Клиффорда

Алгебра Клиффорда — специального вида ассоциативная алгебра с единицей  $Cl(E,Q(,))$ над некоторым коммутативным кольцом $K$ ($E$ — векторное пространство или, более общо, свободный $K$-модуль) с некоторой операцией [«умножения»], совпадающей с заданной на $E$ билинейной формой $Q$.

Смысл конструкции состоит в ассоциативном расширении пространства E⊕K и операции умножения на нём так, чтобы квадрат последней совпал с заданной квадратичной формой Q. Впервые рассмотрена Клиффордом. Алгебры Клиффорда обобщают комплексные числа, паракомплексные числа и дуальные числа, также бикомплексные числа, кватернионы и т.п.: их семейство исчерпывающе охватывает все ассоциативные гиперкомплексные числа.

Формальное определение

Пусть $K$  — коммутативное кольцо с единицей,  $E$ — свободный K-модуль, $Q$ — квадратичная форма на  $E$. Алгеброй Клиффорда квадратичной формы $Q$ (или пары $(E,Q)$) называется факторалгебра $Cl(E,Q)$ тензорной алгебры $T(E)$, $K$-модуля $E$ по двустороннему идеалу, порождённому элементами вида

$x\otimes x-Q(x)1,~~x\in E$

Элементы (векторы) из $E$, являясь тензорами ранга 1, рассматриваются также и как элементы $Cl(Q)$, причём соответственное отображение является мономорфизмом (вложением) модулей:

$E\hookrightarrow Cl(Q)$.

Комментарий

Если $K$ есть поля вещественных либо комплексных чисел, тогда $E$ — линейное пространство, а в качестве $Q(,)$ используется присущее такому пространству скалярное произведение.

Свойства

• Основное тождество алгебр Клиффорда: если характеристика кольца K не равна двум, то для любых $x,y\in E$:

  $xy+yx=2\left\langle x,y\right\rangle$

где $\left\langle ,\right\rangle$ — симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной форме Q:

$\left\langle x,y\right\rangle :={\tfrac {1}{2}}\left(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)\right)$.

• выражение $[x,y]:=xy+yx$ называется антикоммутатором $x$ и $y$.

• Для нулевой квадратичной формы $Q$ алгебра $Cl(E,Q)$ совпадает со внешней алгеброй $\Lambda (E)$ $K$-модуля $E$.
• Пусть $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ — некоторый базис $K$-модуля $E$, тогда элементы вида

  $1,e_{j_{1}}e_{j_{2}}\dots e_{j_{k}}\ (j_{1}<\dots <j_{k},$ для всех k от 1 по n) или, иначе: $e_{1}^{\sigma _{1}}e_{2}^{\sigma _{2}}\dots e_{n}^{\sigma _{n}}$ где $\sigma _{j}=0,1$ образуют базис $K$-модуля $Cl(Q)$. В частности, $Cl(Q)$ является свободным $K$-модулем ранга (размерности) $2^{n}$

  • Если, кроме того, $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ ортогональны относительно $Q$, то $Cl(Q)$ можно задать как $K$-алгебру с образующими $1,e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ и определяющими соотношениями $e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}=0$, ($i\not =j$) и $e_{i}^{2}=Q(e_{i},e_{i})$.
• Алгебра Клиффорда обладает Z₂-градуировкой. В частности, подмодуль в $Cl(Q)$, порождённый произведениями чётного числа элементов из $E$, образует подалгебру в $Cl(Q)$, которая обозначается через $Cl^{+}(Q)$.
• Пусть $K$ — поле и квадратичная форма $Q(,)$ невырождена
  • тогда при чётном n алгебра $Cl(Q)$ является центральной простой алгеброй над $K$ размерности $2^{n}$, подалгебра $Cl^{+}(Q)$ сепарабельна, а её центр имеет размерность 2 над $K$.
• Если $K$ алгебраически замкнуто, то
  • при чётном n $Cl(Q)$ — матричная алгебра, a $Cl^{+}(Q)$ — произведение двух матричных алгебр,
  • при нечётном n, наоборот, $Cl^{+}(Q)$ — матричная, а $Cl(Q)$ — произведение двух матричных алгебр.

Матричные представления алгебр Клиффорда

Уравнение Дирака — важный пример применения представлений $Cl_{3,1}(\mathbb {R} )$, которые впервые изучены Этторе Майораной.

Литература

• H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. Spin geometry. — 1989.
• Lounesto, Pertti (2001), Clifford algebras and spinors, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-00551-7 (см. Архивная копия от 4 апреля 2016 на Wayback Machine)
• Ian R. Porteous «Clifford algebras and the classical groups» Cambridge, CUP, 1995. ISBN=978-0-521-55177-9
• R. Jagannathan (2010), «On generalized Clifford algebras and their physical applications Архивная копия от 29 ноября 2014 на Wayback Machine»