Геодезический поток

Геодезическим потоком на многообразии $M$ называется поток (или, иными словами, однопараметрическая группа диффеоморфизмов) на касательном расслоении $TM$, траектории которого определяются следующим образом: каждый вектор $v$ за время $t$ сдвигается вперёд вдоль касающейся его геодезической на время $t$, оставаясь касательным к этой геодезической.

В определённом смысле, такой поток обобщает движение с постоянной скоростью в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$. Стоит также подчеркнуть, что, несмотря на название, геодезический поток является потоком в смысле динамических систем, определённом именно на касательном расслоении $TM$, а не на самом многообразии $M$.

Часто рассматривают геодезический поток на пространстве $T_{1}M$ единичных касательных векторов (поскольку длина вектора сохраняется при геодезическом потоке).

Уравнение геодезического потока в римановом многообразии можно рассматривать как уравнение гамильтоновой механики при нулевой потенциальной энергии.

Примеры

• Как и было сказано выше, для ${\mathbb {R} }^{n}$ со стандартной евклидовой метрикой геодезический поток задаёт движение с постоянной скоростью:

$\Phi ^{t}({X},{V})=({X}+{V}t,{V}).$

• Траектории геодезического потока на плоскости Лобачевского стремятся к абсолюту как в прямом, так и в обратном времени.
• Геодезический поток на многообразии отрицательной кривизны оказывается потоком Аносова: его динамика хаотична. Частным случаем этого является поток на римановой поверхности рода $g>1$, снабжённой метрикой Пуанкаре.

См. также

• Геодезическая
• Принцип Ферма
• Орициклический поток

Литература

• Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т., Современная геометрия, т.2. Геометрия многообразий. М.: Эдиториал УРСС, 1998.