Гипербола Киперта

Гипе́рбола Ки́перта — гипербола, определяемая по данному треугольнику. Если последний представляет собой треугольник общего положения, то эта гипербола является единственным коническим сечением, проходящим через его вершины, ортоцентр и центроид.

Гипербола Киперта треугольника ABC. Гипербола Киперта проходит через вершины (A, B, C), ортоцентр (H) и центроид (G) треугольника.

Определение через изогональное сопряжение

Гипербола Киперта — кривая, изогонально сопряжённая прямой, проходящей через точку Лемуана и центр описанной окружности данного треугольника.

• Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется осью Брокара. На ней лежат точки Аполлония. Иначе говоря, гипербола Киперта — кривая, изогонально сопряжённая оси Брокара данного треугольника.

Определение через треугольники в трилинейных координатах

Точка на гиперболе Киперта.

Определение через треугольники в трилинейных координатах:

Если три треугольника $XBC$, $YCA$ и $ZAB$ построены на сторонах треугольника $ABC$, являются подобными, равнобедренными с основаниями на сторонах исходного треугольника, и одинаково расположенными (то есть все они построены либо с внешней стороны, либо с внутренней стороны), то прямые $AX$, $BY$ и $CZ$ пересекаются в одной точке $N$. Тогда гипербола Киперта может быть определена виде геометрического места точек $N$ (см. рис.).

Если общий угол при основании равен $\theta$, то вершины трёх треугольников имеют следующие трилинейные координаты:

• $X(-\sin \theta :\sin(C+\theta ):\sin(B+\theta ))$
• $Y(\sin(C+\theta ):-\sin \theta :\sin(A+\theta ))$
• $Z(\sin(B+\theta ):\sin(A+\theta ):-\sin \theta )$

Трилинейные координаты произвольной точки N, лежащей на гиперболе Киперта

$(\operatorname {cosec} (A+\theta ):\operatorname {cosec} (B+\theta ):\operatorname {cosec} (C+\theta ))$.

Уравнение гиперболы Киперта в трилинейных координатах

Геометрическое место точек $N$ при изменении угла при основании треугольников $\theta$ между $-\pi /2$ и $\pi /2$ является гиперболой Киперта с уравнением

${\frac {\sin(B-C)}{x}}+{\frac {\sin(C-A)}{y}}+{\frac {\sin(A-B)}{z}}=0$,

где $x$, $y$, $z$ — трилинейные координаты точки $N$ в треугольнике.

Известные точки, лежащие на гиперболе Киперта

Среди точек, лежащих на гиперболе Киперта, имеются такие важные точки треугольника:

Значение $\theta$	Точка $N$
$0$	$G$, центроид треугольника $ABC$ (X2)
$\pi /2$ (или $-\pi /2$)	$O$, ортоцентр треугольника $ABC$ (X4)
$\operatorname {arctg} [\operatorname {tg} (A/2)\operatorname {tg} (B/2)\operatorname {tg} (C/2)]$	Центр Шпикера (X10)
$\pi /4$	Внешняя точка Вектена (Vecten points) (X485)
$-\pi /4$	Внутренняя точка Вектена (Vecten points) (X486)
$\pi /6$	$N_{1}$, первая точка Наполеона (X17)
$-\pi /6$	$N_{2}$, вторая точка Наполеона (X18)
$\pi /3$	$F_{1}$, первая точка Ферма (X13)
$-\pi /3$	$F_{2}$, вторая точка Ферма (X14)
$-A$ (если $A<\pi /2$) $\pi -A$ (если $A>\pi /2$)	Вершина $A$
$-B$ (если $B<\pi /2$) $\pi -B$ (если $B>\pi /2$)	Вершина $B$
$-C$ (если $C<\pi /2$) $\pi -C$ (если $C>\pi /2$)	Вершина $C$

Перечень точек, лежащих на гиперболе Киперта

Гипербола Киперта проходит через следующие центры треугольника X(i):

• для i=2, (Центроид треугольника),
• i=4 (Ортоцентр),
• i=10 (Центр Шпикера; то есть, инцентр треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника ABC),
• i=13 (первая точка Ферма), i=14 (вторая точка Ферма),
• i=17 (первая точка Наполеона), i=18 (вторая точка Наполеона),
• i=76 (третья точка Брокара),
• i=83 (точка, изогонально сопряжённая серединной точке между точками Брокара),
• i=94, 96,
• i=98 (Точка Тарри=Tarry point),
• i=226, 262, 275, 321,
• i=485 (Внешняя точка Вектена), i=486 (Внутренняя точка Вектена),
• i=598, 671, 801, 1029, 1131, 1132,
• i=1139 (внутренняя точка пятиугольника=inner pentagon point), i=1140 (внешняя точка пятиугольника=outer pentagon point),
• i=1327, 1328, 1446, 1676, 1677, 1751, 1916, 2009, 2010, 2051, 2052, 2394, 2592, 2593,
• i=2671 (первая точка золотого арбелоса=first golden arbelos point),
• i=2672 (вторая точка золотого арбелоса=second golden arbelos point),
• i=2986, 2996

Обобщение теоремы Лестера в виде теоремы Б. Гиберта (2000)

Теорема Б. Гиберта (2000) обобщает теорему об окружности Лестера, а именно: любая окружность, диаметр которой является хордой гиперболы Киперта треугольника и перпендикулярен его прямой Эйлера, проходит через точки Ферма.

История

Название данная гипербола получила в честь открывшего её немецкого математика Фридриха Вильгельма Августа Людвига Киперта (Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert, 1846—1934).

Свойства

• Гипербола Киперта — равносторонняя или равнобочная (то есть её асимптоты перпендикулярны), следовательно, её центр, обозначенный в энциклопедии центров треугольника как Х(115), лежит на окружности Эйлера.

См. также

• Треугольник
• Парабола Киперта

Литература

• Eddy R. H., Fritsch R. . The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle // Math Magazine, 1994, 67. — P. 188—205.