Центр Шпикера

Центр Шпикера — замечательная точка треугольника, определяемая как центр масс периметра треугольника; то есть центр тяжести однородной проволоки, проходящей по периметру треугольника.

Центр Шпикера
Центр Шпикера есть инцентр серединного треугольника
Барицентрические координаты	$b+c:a+c:a+b$
Трилинейные координаты	${\frac {b+c}{a}}:{\frac {a+c}{b}}:{\frac {a+b}{c}}$
Код ЭЦТ	X(10)
Связанные точки
Антидополнительная	центр вписанной окружности

Точка названа в честь немецкого геометра XIX века Теодора Шпикера. В Энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга указана как X(10).

Свойства

Центр Шпикера (S) треугольника является центром пересечения кливеров, обозначены синими линиями.

Центр Шпикера $S$ — радикальный центр трёх вневписанных окружностей $\triangle ABC$. Зелёным цветом обозначены радикальные оси соответствующих пар окружностей; они перпендикулярны линиям центров.

• Центр Шпикера является инцентром серединного треугольника. То есть центр Шпикера $\triangle ABC$ является центром окружности, вписанной в серединный треугольник $\triangle ABC$ (в его дополнительный треугольник). Эта окружность известна как окружность Шпикера.

• Центр Шпикера является центром кливеров треугольника $\triangle ABC$. То есть все три кливера треугольника пересекаются в одной точке — в центре Шпикера $S$. (Кливер треугольника — это отрезок, один конец которого находится в середине одной из сторон треугольника, второй конец находится на одной из двух оставшихся сторон, при этом кливер разбивает периметр пополам.)

• Центр Шпикера, инцентр ($I$), центроид ($G$) и точка Нагеля ($M$) треугольника лежат на одной прямой — на второй прямой Эйлера (прямой Эйлера — Нагеля). Более того,

$\left\{{\begin{matrix}IS=SM;\\IG=2GS;\\MG=2IG.\end{matrix}}\right.$

• Центр Шпикера лежит на гиперболе Киперта треугольника.

• Центр Шпикера $\triangle ABC$ является точкой пересечений прямых $AX$, $BY$ и $CZ$, где $\triangle XBC$, $\triangle YCA$ и $\triangle ZAB$ — подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника $\triangle ABC$снаружи, имеющие один и тот же угол у основания $\mathrm {arctg} \,\left(\mathrm {tg} \,{\frac {A}{2}}\;\mathrm {tg} \,{\frac {B}{2}}\;\mathrm {tg} \,{\frac {C}{2}}\right)$.
  • Это свойство выполняется не только для центра Шпикера. Например, первая точка Наполеона $N_{1}$, как и центр Шпикера, является точкой пересечений прямых $AX$, $BY$и $CZ$, где $\triangle XBC$, $\triangle YCA$ и $\triangle ZAB$ — подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника $\triangle ABC$снаружи, имеющие один и тот же угол у основания $30^{\circ }$.

• Центр Шпикера является радикальным центром трёх вневписанных окружностей.
• трилинейные координаты точки $S$: $(bc(b+c),\;ca(c+a),\;ab(a+b))$.

• Барицентрические координаты центра Шпикера:

  $(b+c,c+a,a+b)$.

Литература

• Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10.
• Theodor Spieker. Lehrbuch der ebenen Geometrie. — Potsdam, Germany, 1888.
• Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. — Mathematical Association of America, 1995.