Центр вписанной окружности

Центр вписанной окружности треугольника (инцентр) — одна из замечательных точек треугольника, точка пересечения биссектрис треугольника. Центр вписанной в треугольник окружности также иногда называют инцентром.

Центр вписанной окружности
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$
Барицентрические координаты	$a:b:c$
Трилинейные координаты	1:1:1
Код ЭЦТ	X(1)
Связанные точки
Изогонально сопряженная	она же
Изотомически сопряженная	центр антибиссектрис
Дополнительная	центр Шпикера
Антидополнительная	точка Нагеля
Медиафайлы на Викискладе

Традиционно обозначается латинской буквой $I$ (по первой букве английского слова "Incenter"). В энциклопедии центров треугольника зарегистрирован под символом $X(1)$.

Свойства

• Центр вписанной окружности треугольника находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника.

• Для треугольника $\triangle ABC$ со сторонами $a$, $b$ и $c$, противолежащими вершинам $A$, $B$ и $C$ соответственно, инцентр делит биссектрису угла $A$ в отношении:

  ${\frac {b+c}{a}}$.

Теорема трилистника

• Если продолжение биссектрисы угла $B$ пересекает описанную окружность $\triangle ABC$ в точке $D$, то выполняется равенство: $DA=DC=DI=DJ$, где $J$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны $AC$; это свойство инцентра известно как теорема трилистника (также — лемма о трезубце, теорема Клайнэра).

• Расстояние между инцентром $I$ и центром описанной окружности $O$ выражается формулой Эйлера:

  $OI^{2}=R^{2}-2Rr$,

где $R$ и $r$ — радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.

• Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности.

• Инцентр можно найти как центр масс вершин треугольника если в каждую вершину поместить массу, равную длине противолежащей стороны (см. также Центр Шпикера).

• Инцентр данного треугольника является точкой Нагеля треугольника, образованного его 3 средними линиями (серединного треугольника).

Полувписанная окружность и центр гомотетии G для вписанной и описанной окружностей с радиусами соответственно r и R. Лемма Веррьера: Центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и окружности Веррьера (полувписанной окружности)

• Лемма Веррьера. Точки касания окружностей Веррьера (полувписанных окружностей) со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности (инцентр) (См. серый рис. снизу).

• Теорема Ригби. Если к любой стороне остроугольного треугольника провести высоту и касающуюся ее с другой стороны вневписанную окружность, то точка касания последней с этой стороной, середина упомянутой высоты, а также инцентр лежат на одной прямой..

• • Из теоремы Ригби следует, что 3 отрезка, соединяющих середину каждой из 3 высот треугольника с точкой касания вневписанной окружности, проведенной к той же стороне, что и высота, пересекаются в инцентре.

Теорема Тебо 3

• Третья теорема Тебо. Пусть $ABC$ — произвольный треугольник, $D$ — произвольная точка на стороне $BC$, $I_{1}$ — центр окружности, касающейся отрезков $AD,BD$ и описанной около $\Delta ABC$ окружности, $I_{2}$ — центр окружности, касающейся отрезков $CD,AD$ и описанной около $\Delta ABC$ окружности. Тогда отрезок $I_{1}I_{2}$ проходит через точку $I$ — центр окружности, вписанной в $\Delta ABC$, и при этом $I_{1}I:II_{2}=\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\phi }{2}}$, где $\phi =\angle BDA$.
• Слабая точка в треугольнике (weak point) та, у которой может найтись близнец с помощью её ортогонального сопряжения за пределы треугольника. Например, инцентр, Точка Нагеля и другие являются слабыми точками, ибо допускают получение аналогичных точек при их сопряжении за пределы треугольника..

См. также

• Ортоцентр
• Центроид
• Формула Эйлера
• Лемма о трезубце

Литература

• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 88-90. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.