Дифференцирование тригонометрических функций

Дифференцирование тригонометрических функций — математический процесс нахождения производной тригонометрической функции или скорости её изменения по отношению к переменной. Например, производная функции синуса записывается как sin′(a) = cos(a), что означает, что скорость изменения sin(x) под определённым углом x = a задаётся косинусом этого угла.

Функция синуса и косинуса в единичном круге

Функция	Производная
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\tan(x)$	$\sec ^{2}(x)$
$\cot(x)$	$-\csc ^{2}(x)$
$\sec(x)$	$\sec(x)\tan(x)$
$\csc(x)$	$-\csc(x)\cot(x)$
$\arcsin(x)$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos(x)$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arctan(x)$	${\frac {1}{x^{2}+1}}$
$\operatorname {arccot}(x)$	$-{\frac {1}{x^{2}+1}}$
$\operatorname {arcsec}(x)$	${\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
$\operatorname {arccsc}(x)$	$-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Все производные круговых тригонометрических функций могут быть найдены из производных sin(x) и cos(x) с помощью правила частного, применяемого к таким функциям, как tan(x) = sin(x)/cos(x). Зная эти производные, можно производные от обратных тригонометрических функций найти с помощью неявного дифференцирования.

Все указанные функции непрерывны и дифференцируемы в своей области определения.

Доказательства производных тригонометрических функций

Предел sin(θ)/θ при стремлении θ к 0

Круг с центром O и радиусом r
(r = OK = OA)

На диаграмме справа показан круг с центром O и радиусом r = 1. Пусть два радиуса OA и OK образуют дугу в θ радиан. Поскольку мы рассматриваем предел, когда θ стремится к нулю, мы можем предположить, что θ — это небольшое положительное число, скажем, 0 < θ < ½ π в первом квадранте.

На схеме пусть R₁ будет треугольником OAK, R₂ — круговым сектором OAK и R₃ — треугольником OAL. Тогда площадь треугольника OAK:

$\mathrm {Area} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.$

Площадь кругового сектора OAK — это $\mathrm {Area} (R_{2})={\tfrac {1}{2}}\theta$, а площадь треугольника OAL определяется как

$\mathrm {Area} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.$

Поскольку каждый объект содержится в следующем, мы имеем:

${\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\iff {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.$

Более того, поскольку sin θ > 0 в первом квадранте, мы можем разделить на ½ sin θ, получив:

$1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.$

На последнем этапе мы взяли обратно три положительных члена, изменив неравенство.

Мы пришли к выводу, что для 0 < θ < ½ π выражение sin(θ)/θ будет всегда меньше 1 и всегда больше cos(θ). Таким образом, чем ближе θ к 0, тем сильнее sin(θ)/θ становится "сжатым" между потолком на высоте 1 и полом на высоте cos θ, который стремится к 1; следовательно, sin(θ)/θ стремится к 1, когда θ стремится к 0 с положительной стороны:

$\lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.$

Для случая, когда θ — это небольшое отрицательное число -½ π <θ <0, мы используем тот факт, что синус — это нечётная функция:

$\lim _{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.$

Предел (cos(θ)-1)/θ при стремлении θ к 0

Последний раздел позволяет нам относительно легко рассчитать этот новый предел. Это делается простым трюком. В этом расчёте знак θ неважен.

$\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.$

С использованием cos²θ – 1 = –sin²θ, факт, что предел произведения является произведением пределов, а предельный результат из предыдущего раздела, мы находим, что:

$\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.$

Предел tan(θ)/θ при стремлении θ к 0

Используя предел для функции синуса и то, что функция тангенс нечётна и предел произведения является произведением пределов, мы находим:

$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.$

Производная функции синуса

Из определения производной

Мы рассчитываем производную функции синуса из определения предела:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}.$

Используя формулы сложения углов sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α, мы имеем:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).$

Использование пределов для функций синуса и косинуса:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.$

Из производной гиперболических функций

Если использовать гиперболические функции, то формально можно получить, что:

${d \over dx}\sin(x)=-{d \over dx}i\operatorname {sh} (ix)=\operatorname {ch} (ix)=\cos(x)$,

т.к.

$\sin(x)={\exp(ix)-\exp(-ix) \over 2i}={\operatorname {sh} (ix) \over i}=-i\operatorname {sh} (ix);$

$\cos(x)={\exp(ix)+\exp(-ix) \over 2}=\operatorname {ch} (ix)$

Производная функции косинуса

Из определения производной

Мы снова вычисляем производную функции косинуса из определения предела:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.$

Используя формулу сложения углов cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β, мы имеем:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).$

Использование пределов для функций синуса и косинуса:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.$

Из производной гиперболических функций

Если использовать гиперболические функции, то формально можно получить, что:

${d \over dx}\cos(x)={d \over dx}i\operatorname {ch} (ix)=i\operatorname {sh} (ix)=-\sin(x)$

Из цепного правила

Чтобы вычислить производную функции косинуса из цепного правила, сначала обратите внимание на три следующих факта:

$\cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)$

$\sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)$

${\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta$

Первое и второе — это тригонометрические тождества, а третье доказано выше. Используя эти три факта, мы можем написать следующее:

${\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)$

Мы можем дифференцировать это, используя цепное правило. Положив $f(x)=\sin x,\ \ g(\theta )={\tfrac {\pi }{2}}-\theta$, мы имеем:

${\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta$.

Таким образом, мы доказали, что

${\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta$.

Производная функции тангенса

Из определения производной

Чтобы вычислить производную функции тангенса tan θ, мы используем первые принципы. По определению:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).$

Используя известную формулу угла tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β), мы имеем:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {{\frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta \right)}}\right].$

Используя тот факт, что предел произведения является произведением пределов:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).$

Используя предел для функции тангенса и тот факт, что tan δ стремится к 0, поскольку δ стремится к 0:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .$

Сразу видим, что:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.$

Из производной гиперболических функций

${d \over dx}\tan(x)=-i{d \over dx}\operatorname {th} (ix)=-i{i \over \operatorname {ch} ^{2}(ix)}={1 \over \operatorname {ch} ^{2}(ix)}={1 \over \cos ^{2}(x)}$

Из правила частного

Также можно вычислить производную функции тангенса, используя правило частного:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}$

Числитель можно упростить до 1 с помощью пифагорового тождества, что даёт нам:

${\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta$

Следовательно,

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta$

Доказательства производных обратных тригонометрических функций

Следующие производные можно найти, установив переменную y равной обратной тригонометрической функции, от которой мы хотим взять производную. Используя неявное дифференцирование и затем решая для dy/dx, производная обратной функции будет найдена в терминах y. Чтобы преобразовать dy/dx обратно в термины x, мы можем нарисовать эталонный треугольник на единичной окружности, положив θ равным y. Используя теорему Пифагора и определение обычных тригонометрических функций, мы наконец можем выразить dy/dx через x.

Дифференцирование функции арксинуса

Пусть

$y=\arcsin x\ ,$

где

$-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}.$

Тогда

$\sin y=x\ .$

Взяв производную по $x$ с обеих сторон и решив для $dy/dx$, имеем:

${d \over dx}\sin y={d \over dx}x,$

$\cos y\cdot {dy \over dx}=1\ .$

Подставляя сверху $\cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}$, имеем:

${\sqrt {1-\sin ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1$

Подставляя сверху $x=\sin y$, имеем:

${\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1$

${dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Из производной обратной гиперболической функции

${d \over dx}\arcsin(x)=-i{d \over dx}\operatorname {arsh} (ix)=-i{i \over {\sqrt {1+i^{2}x^{2}}}}={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

Дифференцирование функции арккосинуса

Пусть

$y=\arccos x\,\!$

где

$0\leq y\leq \pi$

Тогда

$\cos y=x\,\!$

Взяв производную по $x$ с обеих сторон и решив для $dy/dx$, имеем:

${d \over dx}\cos y={d \over dx}x$

$-\sin y\cdot {dy \over dx}=1$

Подставляя сверху $\sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!$, получаем:

$-{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1$

Подставляя сверху $x=\cos y\,\!$, получаем:

$-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1$

${dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

В качестве альтернативы, как только производная от $\arcsin x$ установлена, производная от $\arccos x$ сразу следует путём дифференцирования тождества $\arcsin x+\arccos x=\pi /2$ так, что $(\arccos x)'=-(\arcsin x)'$.

Из производной обратной гиперболической функции

${d \over dx}\arccos(x)=-i{d \over dx}\operatorname {arch} (ix)=-i{i \over {\sqrt {i^{2}x^{2}-1}}}=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

Дифференцирование функции арктангенса

Пусть

$y=\arctan x\,\!$

где

$-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}$

Тогда

$\tan y=x\,\!$

Взяв производную по $x$ с обеих сторон и решив для $dy/dx$, имеем:

${d \over dx}\tan y={d \over dx}x$

Левая сторона:

${d \over dx}\tan y=\sec ^{2}y\cdot {dy \over dx}=(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}$, используя пифагорово тождество

Правая сторона:

${d \over dx}x=1$

Следовательно,

$(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}=1$

Подставляя сверху $x=\tan y\,\!$, получаем:

$(1+x^{2}){dy \over dx}=1$

${dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Из производной обратной гиперболической функции

${d \over dx}\arctan(x)=-i{d \over dx}\operatorname {arth} (ix)=-i{i \over 1-i^{2}x^{2}}={1 \over 1+x^{2}}$

Дифференцирование функции арккотангенса

Пусть

$y=\operatorname {arccot} x$

где $0<y<\pi$ Тогда

$\cot y=x$

Взяв производную по $x$ с обеих сторон и решив для $dy/dx$, имеем:

${\frac {d}{dx}}\cot y={\frac {d}{dx}}x$

Левая сторона:

${d \over dx}\cot y=-\csc ^{2}y\cdot {dy \over dx}=-(1+\cot ^{2}y){dy \over dx}$, используя пифагорово тождество

Правая сторона:

${d \over dx}x=1$

Следовательно,

$-(1+\cot ^{2}y){\frac {dy}{dx}}=1$

Подставляя $x=\cot y$, получаем:

$-(1+x^{2}){\frac {dy}{dx}}=1$

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}$

Из производной обратной гиперболической функции

${d \over dx}\operatorname {arccot}(x)=i{d \over dx}\operatorname {arcth} (ix)=i{i \over 1-i^{2}x^{2}}=-{1 \over 1+x^{2}}$

Дифференцирование функции арксеканса

Использование неявного дифференцирования

Пусть

$y=\operatorname {arcsec} x\ \ |x|\geq 1$

Тогда

$x=\sec y\ \ y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]$

${\frac {dx}{dy}}=\sec y\tan y=|x|{\sqrt {x^{2}-1}}$

(Абсолютное значение в выражении необходимо, поскольку произведение секанса и тангенса в интервале y всегда неотрицательно, а радикал ${\sqrt {x^{2}-1}}$ всегда неотрицателен по определению главного квадратного корня, поэтому оставшийся множитель также должен быть неотрицательным, что достигается за счёт использования абсолютного значения x.)

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Использование цепного правила

В качестве альтернативы, производная арксеканса может быть получена из производной арккосинуса с использованием цепного правила.

Пусть

$y=\operatorname {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)$

где

$|x|\geq 1$ and $y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]$

Тогда, применяя цепное правило к $\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)$, имеем:

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Дифференцирование функции арккосеканса

Использование неявного дифференцирования

Пусть

$y=\operatorname {arccsc} x\ \ |x|\geq 1$

Тогда

$x=\csc y\ \ \ y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]$

${\frac {dx}{dy}}=-\csc y\cot y=-|x|{\sqrt {x^{2}-1}}$

(Абсолютное значение в выражении необходимо, поскольку произведение косеканса и котангенса в интервале y всегда неотрицательно, а радикал ${\sqrt {x^{2}-1}}$ всегда неотрицателен по определению главного квадратного корня, поэтому оставшийся множитель также должен быть неотрицательным, что достигается за счёт использования абсолютного значения x.)

${\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Использование цепного правила

В качестве альтернативы, производная арккосеканса может быть получена из производной арксинуса с использованием цепного правила.

Пусть

$y=\operatorname {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)$

где

$|x|\geq 1$ and $y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]$

Тогда, применяя цепное правило к $\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)$, имеем:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}=-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

См. также

• Тригонометрия
• Математический анализ
• Производная функции
• Таблица производных

Литература

• Справочник по математическим функциям, Под редакцией Абрамовица и Стегуна, Национальное бюро стандартов, Серия по прикладной математике, 55 (1964)
• Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления (рус.). — 4. — Москва: Наука, 1970. — Т. 1. — 672 с.