Инфракрасная расходимость

Инфракрасная расходимость (инфракрасная катастрофа) — ситуация якобы испускания бесконечно большого числа фотонов с бесконечно малыми энергиями при столкновении двух заряженных частиц или при резком изменении скорости заряженной частицы. Является следствием расходимости интеграла из-за вкладов объектов с очень малой энергией (почти равной нулю), или что то же самое, из-за физического явления на очень больших масштабах.

Инфракрасная расходимость имеется только в теориях с безмассовыми частицами (такими как фотоны). Данные расходимости представляют собой эффект, который полная теория часто подразумевает. Один из способов борьбы с ней заключается в наложении обрезания.

Описание парадокса

Сечение процесса $d\sigma$ рассеяния заряженных частиц с испусканием одного дополнительного фотона выражается формулой: $d\sigma =d\sigma _{0}{\frac {dI}{\omega }}$. Здесь $d\sigma _{0}$ — сечение процесса рассеяния заряженных частиц с испусканием определённого числа фотонов, $dI$ — полная энергия излучения, $\omega$ — частота излучения. При интегрировании этой формулы по частотам в некотором конечном интервале от $\omega _{1}$ до $\omega _{2}$ получается $d\sigma \sim \alpha \ln {\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}d\sigma _{u}$, где $d\sigma _{u}$ — сечение рассеяния упругого процесса. Можно приближенно считать, что $\omega _{2}$ приближенно равна начальной энергии излучающей частицы. Но величина $\omega _{1}$ может быть сделана сколь угодно близкой к нулю. В результате сечение излучения всех возможных мягких фотонов стремится к бесконечности.

При другом способе вычислений среднего числа фотонов при резком изменении скорости заряженной частицы: ${\bar {n}}\sim \ln {\frac {L}{\lambda }}$, где $L,\lambda$ — максимальная и минимальная частоты интегрирования. При $\lambda \rightarrow 0$ получаем, что ${\bar {n}}\rightarrow \infty$, так что всегда излучается бесконечно много фотонов нулевой частоты.

Объяснение парадокса

Среднее число излученных фотонов $d{\bar {n}}={\frac {dI}{\omega }}$, где $dI$ — классическая интенсивность излучения, $\omega$ — частота излучения. Интегрируя эту формулу получаем: ${\bar {n}}=\int _{\omega _{1}}^{\omega _{2}}{\frac {dI}{\omega }}$. Поскольку мягкие фотоны излучаются статистически независимо, вероятность $\omega (n)$ излучения ${\bar {n}}$ фотонов выражается через их среднее число формулой Пуассона $\omega (n)={\frac {{\bar {n}}^{n}}{n!}}\exp(-{\bar {n}})$. Сечение процесса рассеяния с излучением фотонов может быть представлено в виде: $d\sigma =d\sigma _{u}\omega (n)$. Поскольку $\sum \omega (n)=1$, то $d\sigma _{u}$ представляет собой полное сечение рассеяния, сопровождаемого любым мягким излучением. Сечение чисто упругого рассеяния в действительности равно нулю. При $\omega _{1}\to 0$ среднее число ${\bar {n}}\to \infty$ и согласно формуле Пуассона обращается в нуль вероятность излучения любого конечного числа фотонов.

Физической причиной парадокса является предположение о бесконечном радиусе действия кулоновского поля, которое приводит к неадекватности фотонной картины для очень больших длин волн. Для выполнения условия ${\bar {n}}>1$ длины волн должны иметь длину больше $e^{\frac {1}{\alpha }}{\frac {\hbar }{mc}}$, что значительно больше радиуса наблюдаемой части Вселенной. Таким образом данный парадокс имеет чисто теоретическое значение

См. также

• Перенормировка
• Ренормализационная группа
• Ультрафиолетовая расходимость

Литература

• Kaku, Michio. Quantum Field Theory: A Modern Introduction (англ.). — New York: Oxford University Press, 1993. — ISBN 0-19-507652-4.
• Claude Itzykson, Jean-Bernard Zuber. Quantum Field Theory (неопр.). — McGraw-Hill Education, 1980. — С. 172/3. — ISBN 0-07-032071-3.