Распределение Пуассона

Распределе́ние Пуассо́на — распределение дискретного типа случайной величины, представляющей собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Распределение Пуассона
Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение	$\mathrm {P} (\lambda )$
Параметры	$\lambda \in (0,\infty )$
Носитель	$k\in \{0,1,2,\ldots \}$
Функция вероятности	${\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}$
Функция распределения	${\frac {\Gamma (k+1,\lambda )}{k!}}$
Математическое ожидание	$\lambda$
Медиана	$\approx \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor$
Мода	$\lfloor \lambda \rfloor$, $\lfloor \lambda \rfloor$ - 1
Дисперсия	$\lambda$
Коэффициент эксцесса	$\lambda ^{-1}$
Дифференциальная энтропия	$\lambda [1\!-\!\ln(\lambda )]\!+\!e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\ln(k!)}{k!}}$
Производящая функция моментов	$\exp(\lambda (e^{t}-1))$
Характеристическая функция	$\exp(\lambda (e^{it}-1))$

Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Определение

Выберем фиксированное число $\lambda >0$ и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

$p(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }$,

где

• $k$ — количество событий,
• $\lambda$ — математическое ожидание случайной величины (среднее количество событий за фиксированный промежуток времени),
• $k!$ обозначает факториал числа $k$,
• $e=2{,}718281828\ldots$ — основание натурального логарифма.

Тот факт, что случайная величина $Y$ имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием $\lambda$, записывается: $Y\sim ~\mathrm {P} (\lambda )$ или $Y\sim \mathrm {Poiss} (\lambda )$.

Моменты

Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид:

$E_{Y}(t)=e^{\lambda \left(e^{t}-1\right)}$,

откуда

$\mathbb {M} [Y]=\lambda$,

$\mathbb {D} [Y]=\lambda$.

Для момента $k$-го порядка справедлива общая формула:

$\mathbb {M} Y^{k}=\sum _{i=0}^{k}\lambda ^{i}\left\{{\begin{matrix}k\\i\end{matrix}}\right\}$,

где $k=1,2,...$. Фигурные же скобки обозначают числа Стирлинга второго рода.

А так как моменты и факториальные моменты линейным образом связаны, то часто для пуассоновского распределения исследуются именно факториальные моменты, из которых при необходимости можно вывести и обычные моменты.

Свойства распределения Пуассона

• Сумма независимых пуассоновских случайных величин также имеет распределение Пуассона. Пусть $Y_{i}\sim \mathrm {P} (\lambda _{i}),\;i=1,\ldots ,n$. Тогда

$Y=\sum \limits _{i=1}^{n}Y_{i}\sim \mathrm {P} \left(\sum \limits _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right)$.

• Пусть $Y_{i}\sim \mathrm {P} (\lambda _{i}),\;i=1,2$, и $Y=Y_{1}+Y_{2}$. Тогда условное распределение $Y_{1}$ при условии, что $Y=y$, биномиально. Более точно:

$Y_{1}\mid Y=y\sim \mathrm {Bin} \left(y,{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}\right)$.

• C увеличением $\lambda$ распределение Пуассона стремится к распределению Гаусса со среднеквадратичным отклонением $\sigma ={\sqrt {\lambda }}$ и сдвигом $\lambda$. Чтобы доказать это, нужно применить формулу Стирлинга для факториала, а затем воспользоваться разложением в ряд Тейлора $\ln(\lambda /k)^{k}$ в окрестности $k=\lambda$ и тем, что в пределах пика распределения ${\sqrt {k}}\approx {\sqrt {\lambda }}$. Тогда получается

$p(k)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi \lambda }}}\exp \left(-{\frac {(k-\lambda )^{2}}{2\lambda }}\right)$

• Производящая функция распределения Пуассона выглядит так: $\exp \left[\lambda \left(z-1\right)\right]$

Асимптотическое стремление к распределению

Довольно часто в теории вероятностей рассматривают не само распределение Пуассона, а последовательность распределений, асимптотически равных ему. Более формально, рассматривают последовательность случайных величин $\xi _{1},\xi _{2},\dots$, принимающих целочисленные значения, такую что для всякого $k$ выполнено $P\{\xi _{n}=k\}\sim {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}$ при $n\to \infty$.

Простейшим примером является случай, когда $\xi _{n}$ имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха ${\frac {\lambda }{n}}$ в каждом из $n$ испытаний.

Обратная связь с факториальными моментами

Рассмотрим последовательность случайных величин $\xi _{1},\xi _{2},\dots$, принимающих целые неотрицательные значения. Если $\mu _{r}({\xi _{n}})\sim \lambda ^{r}$ при $n\to \infty$ и любом фиксированном $r$ (где $\mu _{r}({\xi _{n}})$ — $r$-й факториальный момент), то для всякого $k$ при $n\to \infty$ выполнено $P\{\xi _{n}=k\}\sim {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}$.

Доказательство

Лемма

Для начала докажем общую формулу вычисления вероятности появления конкретного значения случайной величины через факториальные моменты. Пусть для некоторого $\xi$ известны все $\mu _{r}(\xi )$ и $\mu _{r}(\xi )\to 0$ при $r\to \infty$. Тогда

$\sum \limits _{r=k}^{\infty }{(-1)^{r-k}{\frac {\mu _{r}(\xi )}{k!(r-k)!}}}=\sum \limits _{r=k}^{\infty }{\sum \limits _{s=r}^{\infty }{(-1)^{r-k}{\frac {s!}{k!(r-k)!(s-r)!}}P\{\xi =s\}}}.$

Изменяя порядок суммирования, это выражение можно преобразовать в

$\sum \limits _{s=k}^{\infty }{P\{\xi =s\}\sum \limits _{r=k}^{s}{\frac {(-1)^{r-k}s!}{k!(r-k)!(s-r)!}}}=\sum \limits _{s=k}^{\infty }{P\{\xi =s\}{\frac {s!}{k!}}\sum _{t=0}^{s-k}{\frac {(-1)^{t}}{t!((s-k)-t)!}}}.$

Далее, из известной формулы $\sum \limits _{k=0}^{n}{(-1)^{k}C_{n}^{k}}=0$ получаем, что ${\frac {s!}{k!}}\sum _{t=0}^{s-k}{\frac {(-1)^{t}}{t!((s-k)-t)!}}=0$ при $s>k$ и то же выражение вырождается в $1$ при $s=k$.

Тем самым доказано, что $P\{\xi =k\}=\sum \limits _{r=k}^{\infty }{(-1)^{r-k}{\frac {\mu _{r}(\xi )}{k!(r-k)!}}}.$

Доказательство теоремы

Согласно лемме и условиям теоремы, $P\{\xi _{n}=k\}\sim \sum \limits _{r=k}^{\infty }{(-1)^{r-k}{\frac {\lambda ^{r}}{k!(r-k)!}}}=\sum \limits _{r=0}^{\infty }{(-1)^{r}{\frac {\lambda ^{r+k}}{k!r!}}}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\sum \limits _{r=0}^{\infty }{\frac {(-\lambda )^{r}}{r!}}={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}$ при $n\to \infty$.

Q.E.D.

Как пример нетривиального следствия этой теоремы можно привести, например, асимптотическое стремление к $\mathrm {P} (\lambda )$ распределения количества изолированных рёбер (двухвершинных компонент связности) в случайном $n$-вершинном графе, где каждое из рёбер включается в граф с вероятностью $p_{n}\sim {\frac {2\lambda }{n^{2}}}$.

История

Работа Симеона Дени Пуассона «Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах», в которой было введено данное распределение, была опубликована в 1837 году. Примеры других ситуаций, которые можно смоделировать, применив это распределение: поломки оборудования, длительность исполнения ремонтных работ стабильно работающим сотрудником, ошибка печати, рост колонии бактерий в чашке Петри, дефекты в длинной ленте или цепи, импульсы счётчика радиоактивного излучения, количество забиваемых футбольной командой голов и др.

См. также

• Биномиальное распределение
• Обобщенное распределение Пуассона на локально компактной абелевой группе

Литература

• Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — 480 с. — ISBN 978-5-406-00565-1. — С. 135.
• Винс, Ральф. Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров = The mathematics of money management risk analysis techniques for traders. — М.: Альпина Паблишер, 2012. — 400 с. — ISBN 978-5-9614-1894-1.
• Пуассон С. Д. Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах = Poisson S.-D. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. — Berlin: NG Verlag (Viatcheslav Demidov Inhaber), 2013. — 330 p. — ISBN 978-3-942944-29-8. [Poisson.pdf]  (неопр.). Архивировано 1 ноября 2014 года.
• Guerriero V. Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics. — Journal of Modern Mathematics Frontier, 2012, 1. — P. 21—28. Архивная копия от 21 февраля 2018 на Wayback Machine

Ссылки

• Распределение Пуассона — онлайн-калькулятор