Квадратный корень из 5

	Иррациональные числа; ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — eπ и π
Система счисления	Оценка числа √5
Десятичная	2.23606797749978969…
Двоичная	10.0011110001101111…
Двенадцатеричная	2.29BB1325405891918…
Шестнадцатеричная	2.3C6EF372FE94F82C…
Шестидесятеричная	2;14 09 50 40 59 18 …
Рациональные приближения	7/3; 9/4; 20/9; 29/13; 38/17; 123/55; 161/72; 360/161; 521/233; 682/305; 2207/987; 2889/1292 (перечислено в порядке увеличения точности)
Непрерывная дробь

Квадратный корень из числа 5 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 5. Это иррациональное и алгебраическое число^[2].

Округлённое значение 2.236 является правильным с точностью до 0,01 %. Компьютерная вычисленная точность составляет не менее 1 000 000 знаков^[3].

Может быть выражено в виде непрерывной дроби [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, …], последовательно это дроби:

{\color {OliveGreen}{\frac {2}{1}}},{\frac {7}{3}},{\color {OliveGreen}{\frac {9}{4}}},{\frac {20}{9}},{\frac {29}{13}},{\color {OliveGreen}{\frac {38}{17}}},{\frac {123}{55}},{\color {OliveGreen}{\frac {161}{72}}},{\frac {360}{161}},{\frac {521}{233}},{\color {OliveGreen}{\frac {682}{305}}},{\frac {2207}{987}},{\color {OliveGreen}{\frac {2889}{1292}}},\dots

Через бесконечный вложенный радикал: ${\sqrt {5}}={\sqrt {\sqrt {20+{\sqrt {20+{\sqrt {20+...}}}}}}}\dots$

Вавилонский метод править

Вычисление корня из $5$ , начиная с $r_{0}=2$ , где $r_{n+1}={\frac {r_{n}+{\tfrac {5}{r_{n}}}}{2}}$ :

{\frac {2}{1}}=2.0,\quad {\frac {9}{4}}=2.25,\quad {\frac {161}{72}}=2.23611\dots ,\quad {\frac {51841}{23184}}=2.2360679779\ldots

Золотое сечение править

{\sqrt {5}}/2

— диагональ половины квадрата, представляет собой геометрическое представление о золотом сечении.

Золотое сечение $\Phi$ — среднее арифметическое 1 и корня из 5^[4]. ( $\varphi =1/\Phi$ ) алгебраически можно выразить так:

{\sqrt {5}}=\varphi +\Phi =2\varphi +1=2\Phi -1

\varphi ={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}

\Phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}.

Числа Фибоначчи могут быть выражены через корень из 5 так:

F\left(n\right)={{\Phi ^{n}-(1-\Phi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}.

Отношение √5 к $\Phi$ и наоборот дают интересные зависимости непрерывных дробей с числами Фибоначчи и числами Люка^[5]:

{\frac {\sqrt {5}}{\Phi }}=\varphi \cdot {\sqrt {5}}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}=1.3819660112501051518\dots =[1;2,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]

{\frac {\Phi }{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\varphi \cdot {\sqrt {5}}}}={\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}=0.72360679774997896964\dots =[0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].

{1,{\frac {3}{2}},{\frac {4}{3}},{\frac {7}{5}},{\frac {11}{8}},{\frac {18}{13}},{\frac {29}{21}},{\frac {47}{34}},{\frac {76}{55}},{\frac {123}{89}}},\dots \dots [1;2,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]

{1,{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{7}},{\frac {8}{11}},{\frac {13}{18}},{\frac {21}{29}},{\frac {34}{47}},{\frac {55}{76}},{\frac {89}{123}}},\dots \dots [0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].

Алгебра править

Кольцо $\mathbb {Z} \left[\,{\sqrt {-5}}\,\right]$ содержит числа вида $a\,+\,b{\sqrt {-5}}$ , где a и b целые числа и ${\sqrt {-5}}=i{\sqrt {5}}$ — мнимое число. Это кольцо является примером области целостности, не являющейся факториальным кольцом.

Число 6 представляется в данном кольце двумя способами:

6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5}})(1+{\sqrt {-5}}).

Поле $\mathbb {Q} \left[\,{\sqrt {5}}\,\right]$ — абелево расширение рациональных чисел.

Теорема Кронекера — Вебера утверждает, что корень из 5 можно выразить линейной комбинацией корней из единицы:

{\sqrt {5}}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5}.

Тождества Рамануджана править

Корень из 5 появляется во множестве тождеств Рамануджана с непрерывными дробями^[6]^[7].

Например, случай непрерывных дробей Роджерса-Рамануджана:

{\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).

{\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({{\sqrt {5}} \over 1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi \right)e^{2\pi /{\sqrt {5}}}.

4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.

Доказательство иррациональности править

Докажем, что число ${\sqrt {5}}$ — иррациональное число. Докажем от противного. Допустим, что число ${\sqrt {5}}$ можно представить в виде несократимой дроби ${\frac {n}{m}}$ , где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное:

{\sqrt {5}}={\frac {n}{m}}\Rightarrow 5={\frac {n^{2}}{m^{2}}}\Rightarrow 5m^{2}=n^{2}

$n^{2}$ делится на $5$ , значит, $n$ тоже делится на $5$ ; следовательно, $n^{2}$ делится на $25$ , а значит, $m$ и $m^{2}$ делится на $5$ . То есть, дробь можно сократить, а это противоречит изначальному утверждению. Значит, исходное утверждение было неверным, и ${\sqrt {5}}$ — иррациональное число.

См. также править

Примечания править

↑ The square root of five (неопр.). Дата обращения: 15 февраля 2015. Архивировано 11 сентября 2015 года.
↑ Dauben, Joseph W. (June 1983) Scientific American Georg Cantor and the origins of transfinite set theory. Volume 248; Page 122.
↑ R. Nemiroff and J. Bonnell: The first 1 million digits of the square root of 5 Архивная копия от 5 января 2011 на Wayback Machine
↑ Browne, Malcolm W. (July 30, 1985) New York Times Puzzling Crystals Plunge Scientists into Uncertainty. Section: C; Page 1. (Note — this is a widely cited article).
↑ Richard K. Guy: «The Strong Law of Small Numbers». American Mathematical Monthly, vol. 95, 1988, pp. 675—712
↑ Ramanathan, K. G. (1984), "On the Rogers-Ramanujan continued fraction", Indian Academy of Sciences. Proceedings. Mathematical Sciences, 93 (2): 67—77, doi:10.1007/BF02840651, ISSN 0253-4142, MR: 813071
↑ Eric W. Weisstein, Ramanujan Continued Fractions Источник (неопр.). Дата обращения: 8 октября 2010. Архивировано 24 января 2011 года. at MathWorld

Ссылки править

Proof that square root of 5 is irrational (недоступная ссылка) (англ.)
Theodorus' Constant Архивная копия от 18 марта 2020 на Wayback Machine at MathWorld

[1] The square root of five (неопр.). Дата обращения: 15 февраля 2015. Архивировано 11 сентября 2015 года.

[2] Dauben, Joseph W. (June 1983) Scientific American Georg Cantor and the origins of transfinite set theory. Volume 248; Page 122.

[3] R. Nemiroff and J. Bonnell: The first 1 million digits of the square root of 5 Архивная копия от 5 января 2011 на Wayback Machine

[4] Browne, Malcolm W. (July 30, 1985) New York Times Puzzling Crystals Plunge Scientists into Uncertainty. Section: C; Page 1. (Note — this is a widely cited article).

[5] Richard K. Guy: «The Strong Law of Small Numbers». American Mathematical Monthly, vol. 95, 1988, pp. 675—712

[6] Ramanathan, K. G. (1984), "On the Rogers-Ramanujan continued fraction", Indian Academy of Sciences. Proceedings. Mathematical Sciences, 93 (2): 67—77, doi:10.1007/BF02840651, ISSN 0253-4142, MR: 813071

[7] Eric W. Weisstein, Ramanujan Continued Fractions Источник (неопр.). Дата обращения: 8 октября 2010. Архивировано 24 января 2011 года. at MathWorld

[2]

[1]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Иррациональные числа ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — e^π и π
Система счисления	Оценка числа √5
Десятичная	2.23606797749978969…
Двоичная	10.0011110001101111…
Двенадцатеричная	2.29BB1325405891918…
Шестнадцатеричная	2.3C6EF372FE94F82C…
Шестидесятеричная	2;14 09 50 40 59 18 …
Рациональные приближения	⁷/₃; ⁹/₄; ²⁰/₉; ²⁹/₁₃; ³⁸/₁₇; ¹²³/₅₅; ¹⁶¹/₇₂; ³⁶⁰/₁₆₁; ⁵²¹/₂₃₃; ⁶⁸²/₃₀₅; ²²⁰⁷/₉₈₇; ²⁸⁸⁹/₁₂₉₂ (перечислено в порядке увеличения точности)
Непрерывная дробь	$2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+\ddots }}}}}}}}$