Колесо (алгебра)

Колесо (от англ. Wheel theory — «теория колес», иногда «ролик») — тип алгебры, где операция деления определена всегда. В частности, в них деление на ноль имеет смысл. Вещественные числа могут быть расширены до колеса, как и любое коммутативное кольцо.

Схема колеса из теории колес.

Сфера Римана также может быть расширена до колеса путем присоединения элемента $\bot$, где $0/0=\bot$. Сфера Римана является расширением комплексной плоскости элементом $\infty$, где $z/0=\infty$ для любых комплексных $z\neq 0$. Однако $0/0$ не определён в сфере Римана, но определяется в её расширении до колеса.

Термин колесо вдохновлен топологической пиктограммой $\odot$, обозначающей проективную линию вместе с дополнительной точкой $\bot =0/0$.

Определение

Колесо — это алгебраическая структура $(W,0,1,+,\cdot ,/)$ (где операция / унарная), удовлетворяющая:

• Сложение и умножение являются коммутативными и ассоциативными, а $0$ и $1$ представляют собой их нейтральные элементы.
• $//x=x$
• $/(xy)=/x/y$
• $xz+yz=(x+y)z+0z$
• $(x+yz)/y=x/y+z+0y$
• $0\cdot 0=0$
• $(x+0y)z=xz+0y$
• $/(x+0y)=/x+0y$
• $0/0+x=0/0$

Алгебра колес

Колеса заменяют традиционное деление (бинарный оператор, обратный к умножению) на унарный оператор, применяющийся к одному аргументу: «$/x$». Это похоже на определение обратного числа $x^{-1}$, но не идентично ему. В колесах $a/b$ становится краткой записью для $a\cdot /b=/b\cdot a$ и изменяет правила алгебры так, что

• $0x\neq 0$ в общем случае
• $x-x\neq 0$ в общем случае
• $x/x\neq 1$ в общем случае, поскольку $/x$ не совпадает с мультипликативно обратным числом для $x$.

Если существует элемент $a$ такой, что $1+a=0$, то становится возможным определить отрицание (противоположное число) $-x=ax$ и вычитание $x-y=x+(-y)$.

Некоторые следствия:

• $0x+0y=0xy$
• $x-x=0x^{2}$
• $x/x=1+0x/x$

Тогда для $x$ при $0x=0$ и $0/x=0$ получаем привычные

• $x-x=0$
• $x/x=1$

Если определить отрицание как предложено выше, то подмножество колеса $\{x\mid 0x=0\}$ является коммутативным кольцом и, более того, любое коммутативное кольцо является таким подмножеством какого-либо колеса. Если $x$ — обратимый элемент коммутативного кольца, то $x^{-1}=/x$. Таким образом, если $x^{-1}$ имеет смысл (как обычный обратный по умножению элемент), он равен $/x$, но операция $/x$ определена всегда, даже для $x=0$.

Ссылки

• Setzer, Anton (1997), Wheels (PDF) (проект)
• Carlström, Jesper (2004), "Wheels – On Division by Zero", Mathematical Structures in Computer Science, 14 (1), Cambridge University Press: 143—184, doi:10.1017/S0960129503004110 {{citation}}: Указан более чем один параметр |DOI= and |doi= (справка) (также онлайн версия).
• Евгений Капи́нос. Делить на ноль — это норма. Часть 1 , Часть 2, 2015 (рус.)