Конхоидное преобразование

Обзорная статья: Конхоида

Конхо́идное преобразова́ние (англ. conchoidal transform, от др.-греч. κονχοειδής — похожий на раковину) — преобразование плоскости, переводящее точку в конхоиду — точку, радиус-вектор которой увеличен или уменьшен на постоянную величину относительно радиус-вектора исходной точки.

Конхоидное преобразование

Если полюс бесконечно удалён, то конхоидное преобразование вырождается в параллельный перенос с фиксированным направлением.

При нулевом радиус-векторе конхоидное преобразование не определено.

Уравнения конхоидного преобразования

Если координаты исходной точки в полярной системе координат $(r,\,\varphi ),\,$ то координаты преобразованной $(r+l,\,\varphi ),\,$ то есть уравнение конхоидного преобразования имеет следующий вид (см. рисунок справа вверху в начале статьи):

$r'=r+l,\,$ $\varphi '=\varphi .$

Начало радиус-вектора называется полюсом конхоиды (в данном случае это начало координат $(0,\,0)\,$), а постоянная величина приращения радим-вектора $l\,$ — модулем конхоиды. Направление радиус-вектора называется направлением конхоиды.

Конхоидные преобразования $r'=r+l$ с фиксированным полюсом и направлением образуют:

• точки вещественной прямой $\mathbb {R}$ с координатами $l$;
• коммутативную группу, изоморфную группе параллельных переносов $\mathbb {R}$, то есть группе сложения вещественных чисел, поскольку выполняются два свойства этого преобразования:

• композиция двух конхоидных преобразований есть конхоидное преобразование:

$r''\circ r'=(r+l'')\circ (r+l')=(r+l')+l''=$

$=r+(l'+l'')=r+l''';$

• преобразование, обратное конхоидному преобразованию $r=r+l$, есть конхоидное преобразование $r^{-1}=r-l$:

$(r-l)\circ (r+l)=(r+l)-l=r.$

Конхоидные преобразования $r'=r+l$ только с фиксированным полюсом образуют точки проективно-вещественной плоскости $\mathbb {P} \times \mathbb {R}$ с координатами $((r\cos \varphi ,\,r\sin \varphi );\,l)$ и не образуют группу, поскольку конхоидные преобразования с фиксированными полюсом и разными направлениями не образуют композиции.

На комплексной плоскости уравнение конхоидного преобразования с полюсом в начале координат имеет следующий вид (см. рисунок справа вверху):

$z'=z+l{\sqrt {\frac {z}{\bar {z}}}}=z+l{\frac {z}{|z|}}=z+le^{i\varphi },$

где $e^{i\varphi }$ — единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса $(0,\,0)\,$ к произвольной точке плоскости $z=x+iy;\,$ $\cos \varphi ={\frac {x}{|z|}};\,$ $\sin \varphi ={\frac {y}{|z|}}.$

Обычное уравнение конхоидного преобразования с полюсом в начале координат произвольной точки декартовой плоскости имеет следующий вид:

$a'=a+l{\frac {a}{|a|}}=a+le,$

где $e\,$ — единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса к произвольной точке пространства $a$ (см. рисунок справа вверху).

На декартовой плоскости конхоидное преобразование с полюсом в начале координат имеет следующий параметрический вид как декартовых координат конхоиды $r'=r+l$ (см. рисунок справа вверху):

$x=x(t)\left(1+{\frac {l}{\sqrt {x^{2}(t)+y^{2}(t)}}}\right),$

$y=y(t)\left(1+{\frac {l}{\sqrt {x^{2}(t)+y^{2}(t)}}}\right),$

а с произвольным полюсом $(x_{0},\,y_{0})$ — более сложный параметрический вид:

$x=x(t)+\left({\frac {l(x(t)-x_{0})}{\sqrt {(x(t)-x_{0})^{2}+(y(t)-y_{0})^{2}}}}\right),$

$y=y(t)+\left({\frac {l(y(t)-y_{0})}{\sqrt {(x(t)-x_{0})^{2}+(y(t)-y_{0})^{2}}}}\right),$

Конхоидное преобразование кривых

Конхоидное преобразование используется для образования новых плоских кривых — конхоид из исходных — директрис. В этом случае его уравнение могут записать в виде

$r(\varphi )=f(\varphi )\pm l,\,$ $l>0,$

где $r(\varphi )=f(\varphi )$ — уравнение директрисы. и говорить о $2n$ ветвях конхоиды, которые соответствуют прибавлению и вычитанию положительной константы $l$ к координатам $f(\varphi ),\,$ которые соответствуют $n$ точкам пересечения директрисы с произвольной прямой $\varphi =\varphi _{0}$. Обычно рассматривают случаи с $n=1$.

Например, конхоида Никомеда и улитка Паскаля относятся к случаю $n=1,\,$ а конхоида окружности, когда полюс не лежит на окружности — к случаю $n=2.$

При $l=0$ конхоида совпадает со своей директрисой, а при $l\to \infty$ — с бесконечно удалёнными точками на окружности бесконечного радиуса.

Конхоиды $r=f+l$ с фиксированным полюсом, аналогично точечным конхоидным преобразованиям, образуют:

• точки вещественной прямой $\mathbb {R}$ с координатами $l$;
• коммутативную группу, изоморфную группе параллельных переносов $\mathbb {R}$, то есть группе сложения вещественных чисел, поскольку выполняются два свойства этого преобразования:

Когда обе ветви конхоиды совпадают, то есть совпадают кривые

$r(\varphi )=f(\varphi )+l,\,$ $r(\varphi )=f(\varphi )-l,\,$ $l>0,$

директриса $f(\varphi )$ называется минимальной конхоидой, поскольку любая конхоида с этой директрисой не может быть «меньше» неё: для любой первой конхоиды минимальной директрисы

$r(\varphi )=f(\varphi )\pm l,\,$ $l>0$

две из четырёх ветвей второй конхоиды (с первой конхоидой как директрисой)

$r(\varphi )=(f(\varphi )\pm l)\mp 2l,\,$ $l>0$

совпадают друг с другом и с исходной первой конхоидой.

Например, минимальная конхоида — базовая окружность улитки Паскаля.

Общее конхоидное преобразование

Общее конхоидное преобразование

В общем случае полюс конхоидного преобразования может быть произвольным, то есть уравнение конхоидного преобразования на комплексной плоскости имеет следующий вид (см. рисунок справа):

$z'=z+l{\sqrt {\frac {z-z_{0}}{\overline {z-z_{0}}}}}=$

$=z+l{\frac {z-z_{0}}{|z-z_{0}|}}=$

$=z+le^{i\varphi },$

где $z_{0}=x_{0}+iy_{0}\,$ — полюс; $l\,$ — модуль; $e^{i\varphi }\,$ — единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса к произвольной точке плоскости $z=x+iy;\,$ $\cos \varphi ={\frac {x-x_{0}}{|z-z_{0}|}};\,$ $\sin \varphi ={\frac {y-y_{0}}{|z-z_{0}|}}.$

Если полюс бесконечно удалён, то конхоидное преобразование вырождается в параллельный перенос.

При нулевом радиус-векторе конхоидное преобразование не определено.

Два конхоидных преобразования $z'=z+le^{i\varphi }\,$ и $z''=z'+l'e^{i\varphi '},\,$ действующие на одной прямой, эквивалентны на прямой, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться):

$l=l',\,$ $e^{i\varphi }=e^{i\varphi '},\,$ $z,\,z',\,z''$ коллинеарны.

Конхоидные преобразования $z'=z+le^{i\varphi }$, действующие на одной прямой, с точностью до эквивалентных преобразований образуют:

• точки вещественной прямой $\mathbb {R}$ с координатами $l$;
• коммутативную группу, изоморфную группе параллельных переносов $\mathbb {R}$, то есть группе сложения вещественных чисел.

Два произвольных конхоидных преобразования $z'=z+le^{i\varphi }\,$ и $z''=z'+l'e^{i\varphi '}\,$ эквивалентны, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться):

$l=l',\,$ $e^{i\varphi }=e^{i\varphi '}.$

Конхоидные преобразования $z'=z+le^{i\varphi }$ одинакового направления с точностью до эквивалентных преобразований образуют точки вещественной плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ с координатами $(x+y,\,l)$ и не образуют группу, поскольку конхоидные преобразования одного направления, не лежащие на одной прямой, не образуют композиции.

Конхоидное преобразование имеет обратное преобразование $z^{-1}=z-le^{i\varphi }:$

$z-le^{i\varphi }\circ z+le^{i\varphi }=z+le^{i\varphi }-le^{i\varphi }=z,\,$

а также композиция двух конхоидных преобразований есть снова конхоидное преобразование, так как сумма комплексных чисел есть снова комплексное число:

$z'''=z''\circ z'=z'+l'e^{i\varphi '}\circ z+le^{i\varphi }=z+le^{i\varphi }+l'e^{i\varphi '}=$

$=z+l''e^{i\varphi ''}=z+l''{\frac {z-z''_{0}}{|z-z''_{0}|}},$

другими словами, конхоидные преобразования $z'=z+le^{i\varphi }$ с точностью до эквивалентных преобразований образуют коммутативную группу, изоморфную группе параллельных переносов $\mathbb {R} ^{2}$, то есть группе сложения радиус-векторов плоскости, поскольку выполняются эти два групповые свойства.

Вычисление полюса и модуля композиции двух конхоидных преобразований

Композиция двух конхоидных преобразований

Пусть заданы два конхоидных преобразования своими полюсами соответственно $z_{0}=x_{0}+iy_{0}\,$ и $z_{0}'=x_{0}'+iy_{0}'\,$ и модулями соответственно $l\,$ и $l',\,$ а также задана исходная произвольная точка плоскости $z=x+iy\,$ (см. рисунок справа). Тогда первая конхоида $z'$ исходной точки $z$ равна

$z'=z+le^{i\varphi },\,$ $\cos \varphi ={\frac {x-x_{0}}{|z-z_{0}|}};\,$ $\sin \varphi ={\frac {y-y_{0}}{|z-z_{0}|}},\,$

а конхоида $z''$ первой конхоиды $z'$ (вторая конхоида исходной точки) равна

$z''=z'+l'e^{i\varphi '},\,$ $\cos \varphi '={\frac {x'-x_{0}'}{|z'-z_{0}'|}};\,$ $\sin \varphi '={\frac {y'-y_{0}'}{|z'-z_{0}'|}}.$

Из композиции двух конхоидных преобразования

$z'''=z'\circ z=z+le^{i\varphi }+l'e^{i\varphi '}=z+l''e^{i\varphi ''},\,$

$\cos \varphi ''={\frac {x-x_{0}''}{|z-z_{0}''|}};\,$ $\sin \varphi ''={\frac {y-y_{0}''}{|z-z_{0}''|}},\,$

получаем два уравнения

$l''\cos \varphi ''=l\cos \varphi +l'\cos \varphi ',\,$

$l''\sin \varphi ''=l\sin \varphi +l'\sin \varphi ',\,$

из которых вычисляем модуль $l''$ композиции (см. рисунок справа вверху)

$l''^{2}=(l\cos \varphi +l'\cos \varphi ')^{2}+(l\sin \varphi +l'\sin \varphi ')^{2}=$

$=l^{2}+l'^{2}+2ll'(\cos \varphi \cos \varphi '+\sin \varphi \sin \varphi ')=$

$=l^{2}+l'^{2}+2ll'\cos(\varphi '-\varphi ),$

где $\pi -(\varphi '-\varphi )$ — угол при вершине $z'$ треугольника $zz'z''$ (получили теорему косинусов).

Для вычисления полюса $z_{0}''=x_{0}''+iy_{0}''$ одного из преобразований, эквивалентного композиции, предположим, что

$z''-z=z-z_{0}'',\,$

откуда (см. рисунок справа вверху)

$z_{0}''=2z-z''.$

Конхоидное преобразование в многомерном пространстве

Уравнение общего конхоидного преобразования произвольной точки $n$-мерного декартового пространства имеет следующий вид:

$a'=a+l{\frac {a-a_{0}}{|a-a_{0}|}}=a+le,$

где $a_{0}=(a_{01},\,a_{02},\,\dots ,\,a_{0n})\,$ — полюс; $l\,$ — модуль; $e=(e_{1},\,e_{2},\,\dots ,\,e_{n})\,$ — единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса к произвольной точке пространства $a=(a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n}).$

Если полюс бесконечно удалён, то конхоидное преобразование вырождается в параллельный перенос.

При нулевом радиус-векторе конхоидное преобразование не определено.

Два конхоидных преобразования $a'=a+le$ и $a''=a'+l'e,$ действующие на одной прямой, эквивалентны на прямой, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться):

$l=l',\,$ $e=e',\,$ $a,\,a',\,a''$ коллинеарны.

Конхоидные преобразования $a'=a+le$, действующие на одной прямой, с точностью до эквивалентных преобразований образуют:

• точки вещественной прямой $\mathbb {R}$ с координатами $l$;
• коммутативную группу, изоморфную группе параллельных переносов $\mathbb {R}$, то есть группе сложения вещественных чисел.

Два конхоидных преобразования $a'=a+le\,$ и $a''=a'+le'\,$ эквивалентны, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться):

$l=l',\,$ $e=e'.$

Конхоидные преобразования $a'=a+le$ одинакового направления с точностью до эквивалентных преобразований образуют точки $n$-мерного вещественного пространства $\mathbb {R} ^{n}$ с координатами

$(a_{1}+a_{2},\,a_{2}+a_{3},\,\dots ,\,a_{n-1}+a_{n},\,l)$

и не образуют группу, поскольку конхоидные преобразования одного направления, не лежащие на одной прямой, не образуют композиции.

Конхоидное преобразование имеет обратное преобразование $a^{-1}=a-le:$

$a-le\circ z+le=a+le-le=a,\,$

а также композиция двух конхоидных преобразований есть снова конхоидное преобразование, так как сумма радиус-векторов есть снова радиус-вектор:

$a'''=a''\circ a'=a'+l'e'\circ a+le=a+le+l'e'=$

$=a+l''e''=a+l''{\frac {a-a''_{0}}{|a-a''_{0}|}},$

другими словами, конхоидное преобразование $a'=a+le$ с точностью до эквивалентных преобразований образует коммутативную группу, изоморфную группе параллельных переносов $\mathbb {R} ^{n}$, то есть группе сложения радиус-векторов пространства, поскольку выполняются эти два групповые свойства.

Вычисление полюса и модуля композиции двух конхоидных преобразований

Композиция двух конхоидных преобразований в трёхмерном пространстве. Показаны плоскость композиции и пирамида трёх модулей и начала координат

Пусть заданы два конхоидных преобразования своими полюсами соответственно $a_{0}=(a_{01},\,a_{02},\,\dots ,\,a_{0n})\,$ и $a_{0}'=(a_{01}',\,a_{02}',\,\dots ,\,a_{0n}')\,$ и модулями соответственно $l\,$ и $l',\,$ а также задана исходная произвольная точка плоскости $a=(a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n})\,$ (см. рисунок справа для трёхмерного пространства). Тогда первая конхоида $a'$ исходной точки $a$ равна

$a'=a+le,\,$ $e={\frac {a-a_{0}}{|a-a_{0}|}},$

а конхоида $a''$ первой конхоиды $a'$ (вторая конхоида исходной точки) равна

$a''=a'+l'e',\,$ $e'={\frac {a'-a_{0}'}{|a'-a_{0}'|}}.$

Из композиции двух конхоидных преобразования

$a'''=a''\circ a'=a+le+l'e'=a+l''e'',\,$ $e''={\frac {a''-a_{0}''}{|a''-a_{0}''|}}$

получаем $n$ уравнений, $i=1,\,2,\,\dots ,n:$

$l''e''_{i}=le_{i}+l'e'_{i},$

из которых вычисляем модуль $l''$ композиции (см. рисунок справа вверху для трёхмерного пространства)

$l''^{2}=\sum _{i=1}^{n}(le_{i}+l'e'_{i})^{2}=$

$=l^{2}+l'^{2}+2ll'\sum _{i=1}^{n}(e_{i}\cdot e'_{i})=$

$=l^{2}+l'^{2}+2ll'\cos \angle (e,\,e'),$

$=l^{2}+l'^{2}-2ll'\cos \angle aa'\!a'',$

где $\angle aa'\!a''=\pi -\angle (e,\,e')$ (получили теорему косинусов).

Для вычисления полюса $a_{0}''=(a_{01}'',\,a_{02}'',\,\dots ,\,a_{0n}'')\,$ одного из преобразований, эквивалентного композиции, предположим, что

$a''-a=a-a_{0}'',$

откуда (см. рисунок справа вверху для трёхмерного пространства)

$a_{0}''=2a-a''.$

На рисунке видно, что Исходная точка и обе её конхоиды лежат в одной плоскости композиции.

Источники

• Ефимов Н. В. Высшая геометрия. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 584 с. ISBN 5-9221-0267-2.
• Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. (Справочное руководство) / Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. 293 с., ил.
• Ferréol Robert. Conchoid // ENCYCLOPÉDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES Архивная копия от 6 марта 2023 на Wayback Machine
• jan wassenaar conchoid // mathematical curves Архивная копия от 4 октября 2023 на Wayback Machine
• Weisstein Eric W. Conchoid // Wolfram MathWorld Архивная копия от 25 декабря 2023 на Wayback Machine
• Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their ApplicationsThe Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 10: 0486610780. ISBN 13: 9780486610788.