Лемма Либермана

Лемма Либермана — основной инструмент изучения внутренней метрики выпуклой поверхности.

Формулировка

Пусть $K$ есть выпуклое тело в евклидовом пространстве, и $p\in K$. Предположим $\gamma$ есть кратчайшая на поверхности $K$. Рассмотрим конус $L$ с вершиной в p над $\gamma$, то есть множество всех точек типа $p+\lambda \cdot (\gamma (t)-p)$, $\lambda \geq 0$. Пусть $\sigma :L\to \mathbb {R} ^{2}$ есть изометрическое вложение тогда $\sigma \circ \gamma$ образует выпуклую кривую на плоскости.

Литература

• Либерман, И. М. «Геодезические линии на выпуклых поверхностях». ДАН СССР. 32.2. (1941), 310—313.
• Погорелов А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. — М.: Наука, 1969. — 760 с., Глава II, Теорема 4.