Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

$\sum _{k=0}^{n}{a_{k}y^{(k)}(t)}=a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +a_{1}y'+a_{0}y=f(t)$

где

• $y=y(t)$ — искомая функция,
• $y^{(k)}=y^{(k)}(t)$ — её $k$-я производная,
• $a_{0},a_{1},a_{2},\dots a_{n}$ — фиксированные числа,
• $f(t)$ — заданная функция (когда $f(t)\equiv 0$, имеем линейное однородное уравнение, иначе — линейное неоднородное уравнение).

Однородное уравнение

Определение

Корень кратности $k$ многочлена $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}$ это число $c$, такое что этот многочлен делится без остатка на $(x-c)^{k}$, но не на $(x-c)^{k+1}$.

Уравнение порядка n

Однородное уравнение:

$a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +a_{1}y'+a_{0}y=0$

интегрируется следующим образом:

Пусть $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}$ — все различные корни характеристического многочлена, являющегося левой частью характеристического уравнения

$a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\dots +a_{1}\lambda +a_{0}=0$

кратностей $m_{1},m_{2},\dots ,m_{k}$, соответственно, $m_{1}+m_{2}+\dots +m_{k}=n$.

Тогда функции

$t^{\nu }e^{\lambda _{j}t},\ \ 1\leq j\leq k,\ \ 0\leq \nu \leq m_{j}-1$

являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями однородного уравнения, они образуют фундаментальную систему решений.

Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.

Воспользовавшись формулой Эйлера для пар комплексно сопряженных корней $\lambda _{j}=\alpha _{j}\pm i\beta _{j},\ \ 1\leq j\leq k$ можно заменить соответствующие пары комплексных функций в фундаментальной системе решений парами вещественных функций вида

$t^{\nu }e^{\alpha _{j}t}\cos(\beta _{j}t),\ \ t^{\nu }e^{\alpha _{j}t}\sin(\beta _{j}t),\ \ j\in {\overline {1\dots k}},\ \ 0\leq \nu \leq m_{j}-1$

и построить общее решение уравнения в виде линейной комбинации с произвольными вещественными постоянными коэффициентами.

Уравнение второго порядка

Однородное уравнение второго порядка:

$a_{2}y''+a_{1}y'+a_{0}y=0$

интегрируется следующим образом:

Пусть $\lambda _{1},\lambda _{2}$ — корни характеристического уравнения

$a_{2}\lambda ^{2}+a_{1}\lambda +a_{0}=0$,

являющегося квадратным уравнением.

Вид общего решения однородного уравнения зависит от значения дискриминанта $\Delta =a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}$:

• при $\Delta >0$ уравнение имеет два различных вещественных корня

$\lambda _{1,2}=\alpha _{1,2}={\frac {-a_{1}\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a_{2}}}.$

Общее решение имеет вид:

$y(t)=c_{1}e^{\alpha _{1}t}+c_{2}e^{\alpha _{2}t}$

• при $\Delta =0$ — два совпадающих вещественных корня

$\lambda _{1}=\lambda _{2}=\alpha ={\frac {-a_{1}}{2a_{2}}}.$

Общее решение имеет вид:

$y(t)=c_{1}e^{\alpha t}+c_{2}te^{\alpha t}$

• при $\Delta <0$ существуют два комплексно сопряженных корня

$\lambda _{1,2}=\alpha \pm i\beta ={\frac {-a_{1}}{2a_{2}}}\pm i{\frac {\sqrt {|\Delta |}}{2a_{2}}}.$

Общее решение имеет вид:

$y(t)=c_{1}e^{\alpha t}\cos(\beta t)+c_{2}e^{\alpha t}\sin(\beta t)$

Неоднородное уравнение

Неоднородное уравнение интегрируется методом вариации произвольных постоянных (Метод Лагранжа).

Вид общего решения неоднородного уравнения

Если дано частное решение неоднородного уравнения $y_{0}(t)$, и $y_{1}(t),\ldots ,y_{n}(t)$ — фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение уравнения задается формулой

$y(t)=c_{1}y_{1}(t)+\ldots +c_{n}y_{n}(t)+y_{0}(t),$

где $c_{1},\dots ,c_{n}$ — произвольные постоянные.

Принцип суперпозиции

Как в общем случае линейных уравнений, имеет место принцип суперпозиции, используемый в разных формулировках принципа суперпозиции в физике.

В случае, когда функция в правой части состоит из суммы двух функций

$f(t)=f_{1}(t)+f_{2}(t)$,

частное решение неоднородного уравнения тоже состоит из суммы двух функций

$y_{0}(t)=y_{01}(t)+y_{02}(t)$,

где $y_{0j}(t),\ \ j\in {\overline {1,2}}$ являются решениями неоднородного уравнения с правыми частями $f_{j}(t),\ \ j\in {\overline {1,2}}$, соответственно.

Частный случай: квазимногочлен

В случае, когда $f(t)$ — квазимногочлен, то есть

$f(t)=p(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t)+q(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t)$

где $p(t),\ q(t)$ — многочлены, частное решение уравнения ищется в виде

$y_{0}(t)=(P(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t)+Q(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t))t^{s}$

где

• $P(t),\ Q(t)$ многочлены, $deg(P)=deg(Q)=Max(deg(p),\ deg(q))$, коэффициенты которых находятся подстановкой $y_{0}(t)$ в уравнение и вычисление методом неопределенных коэффициентов.
• $s$ является кратностью комплексного числа $w=\alpha +i\beta$, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

В частности, когда

$f(t)=p(t)e^{\alpha t}$

где $p(t)$ — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

$y_{0}(t)=P(t)e^{\alpha t}t^{s}$

Здесь $P(t)$ — многочлен, $deg(P)=deg(p)$, с неопределенными коэффициентами, которые находятся подстановкой $y_{0}(t)$ в уравнение. $s$ является кратностью $\alpha$, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

Когда же

$f(t)=p(t)$

где $p(t)$ — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

$y_{0}(t)=P(t)t^{s}$

Здесь $P(t)$ — многочлен, $deg(P)=deg(p)$, а $s$ является кратностью нуля, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

Уравнение Коши — Эйлера

Уравнение Коши — Эйлера является частным случаем линейного дифференциального уравнения вида:

$\sum _{k=1}^{n}{a_{k}(\alpha x+\beta )^{k}y^{(k)}(x)}=a_{n}(\alpha x+\beta )^{n}y^{(n)}(x)+...+a_{2}(\alpha x+\beta )^{2}y''(x)+a_{1}(\alpha x+\beta )y'(x)+a_{0}y(x)=f(x)$,

приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой вида $(\alpha x+\beta )=e^{t}$.

Применение

Дифференциальные уравнения являются наиболее часто используемой и классической формой математического описания процессов. Разные формы математических описаний являются инструментальным средством аналитического анализа и синтеза динамических систем и систем автоматического управления. Дифференциальные уравнения, параметры которых зависят от переменных, называются нелинейными и не имеют общих решений. В настоящее время в теории автоматического управления широко используется математический аппарат интегральных преобразований Лапласа и Фурье. Из математики известно, что в частотную область компактно преобразуется д.у. с постоянными коэффициентами и при нулевых начальных условиях. И в теории управления такое уравнение является линейным.

Если динамическая система представлена нелинейными дифференциальными уравнениями математической физики, то для применения классических методов анализа этих систем требуется их линеаризация.

См. также

• Линейная рекуррентная последовательность — дискретный аналог линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.