Мера Эрроу — Пратта

Мера Эрроу — Пратта — применяемая в экономической теории мера неприятия риска.

Определение править

Абсолютная мера неприятия риска Эрроу — Пратта определяется следующим образом:

R_{a}=-{\frac {u''(x)}{u'(x)}}=-{\frac {d\ln MU(x)}{dx}}

,

то есть равна производной логарифма предельной полезности по объёму потребления (с обратным знаком).

Относительная мера неприятия риска Эрроу — Пратта равна эластичности предельной полезности по объёму потребления (также с обратным знаком):

R=-{\frac {xu''(x)}{u'(x)}}=-{\frac {d\ln MU(x)}{d\ln x}}

Теорема Пратта править

Теорема Пратта утверждает эквивалентность следующих трёх способов ранжирования неприятия риска.

Первый способ — по мере Эрроу — Пратта — чем больше, тем больше степень неприятия риска.

Второй способ — потребитель 1 имеет большую степень неприятия риска, чем потребитель 2, если существует строго возрастающая строго вогнутая (выпуклая вверх) функция $G$ , такая что $\forall x,u_{1}(x)=G(u(x))$ , где $u_{1}(x),u_{2}(x)$ - функции полезностей первого и второго потребителя соответственно.

Третий способ — неприятие риска тем больше, чем больше так называемое вознаграждение за риск $\pi (x)$ (для всех $x$ ), определяемая как такая величина, что $Eu(x)=u(Ex-\pi (x))$ , то есть величина $Ex-\pi (x)$ является безрисковым эквивалентом $x$ .

В теореме предполагается дважды непрерывная дифференцируемость функций полезности со стандартными условиями положительности первой производной (предельной полезности) и неположительности второй (невозрастание предельной полезности, то есть вогнутость или выпуклость вверх функций полезности).

Можно показать, что требуемое вознаграждение за риск в первом приближении выражается через меру Эрроу-Пратта $r(x)$ следующим образом $\pi (x)=r(x)\sigma ^{2}/2$ , где $\sigma ^{2}$ — дисперсия лотереи.