Метрика Титса

Метрика Титса — метрика определённого типа на абсолюте пространства Адамара. Названа в честь Жака Титса.

Построение

Пусть $X$ — пространство Адамара. Обозначим через $\partial _{\infty }X$ его абсолют, то есть множество лучей исходящих из одной точки $p$.

Для двух лучей $\alpha$ и $\beta$ из $\partial _{\infty }X$ определяется угол $\measuredangle _{\infty }(\alpha ,\beta )$ как предел угла сравнения в треугольнике $[p\,\alpha (t)\,\beta (t)]$ при $t\to \infty$, то есть угла в плоского треугольника с теми же сторонами, что у $[p\,\alpha (t)\,\beta (t)]$ при вершине соответствующей $p$.

Угол $\measuredangle _{\infty }$ определяет так называемую угловую метрику на $\partial _{\infty }X$, со значениями в интервале $[0,\pi ]$.

Внутренняя метрика ассоциированная с $\measuredangle _{\infty }$ называется метрикой Титса; она принимает значения в интервале $[0,\infty ]$.

Замечания

• Метрика Титса совпадает угловой метрикой на парах точек с расстоянием меньше $\pi$
• Метрика не зависит от выбора точки $p$.
• Абсолют $\partial _{\infty }X$ можно также определить как фактор пространства всех лучей в $X$ по параллельности, то есть отношению эквивалентности на лучах определяемое как $\alpha \parallel \beta$ если расстояния $|\alpha (t)-\beta (t)|_{X}$ ограничены при всех значениях $t$.

Примеры

• Для евклидова пространства, аболют с метрикой Титса изометричен единичной сфере.
• Для пространства Лобачевского метрика Титса дискретна, расстояния между любыми различными точками равно $\infty$.

Свойства

• Абсолют $\partial _{\infty }X$ с метрикой Титса является CAT(1) пространством.
• Абсолют произваедения двух пространств Адамара $\partial _{\infty }(X\times Y)$ с метрикой Титса изометричен сферическому джойну соответствующих абсолютов $(\partial _{\infty }X)\star (\partial _{\infty }Y)$ с метриками Титса.