Модуль непрерывности

Для любой функции $f$, определённой на множестве $E$, можно ввести понятие модуля непрерывности этой функции, обозначаемого $\omega _{f}(\delta )$. Модуль непрерывности — тоже функция, по определению равная

$\omega _{f}(\delta )=\sup\{|f(x_{1})-f(x_{2})|\colon (x_{1},\;x_{2}\in E)\land |x_{1}-x_{2}|<\delta \},$

или верхней грани колебания функции по всем подотрезкам из $E$ длиной меньше $\delta$. Также в литературе встречаются другие обозначения: $\omega (f,\;\delta )$ и (реже) $\omega (\delta ,\;f)$.

Свойства модуля непрерывности

Введённая функция обладает рядом интересных свойств.

• При любом $\delta$ она неотрицательна.
• Функция не убывает.
• Функция полуаддитивна, если $E$ выпукло:

  $\omega _{f}(\delta _{1}+\delta _{2})\leqslant \omega _{f}(\delta _{1})+\omega _{f}(\delta _{2}).$

• По определению в точке 0 модуль непрерывности равен 0:

  $\omega _{f}(0){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}0.$

• Теорема о равномерной непрерывности может быть сформулирована следующим образом. Если функция $f$ определена на отрезке $[a,\;b]$ и непрерывна на нём, то $\lim _{\delta \to 0+}{\omega _{f}(\delta )}=0$, и наоборот. Данный предел обозначается также $\omega _{f}(0+)$.
• Если $f(x)$ непрерывна на $[a,\;b]$, то её модуль непрерывности также непрерывная функция на отрезке $[0,\;b-a]$.

Связанные понятия

Модуль непрерывности оказался тонким инструментом исследования разнообразных свойств функции, таких как:

• принадлежность классам Липшица и Гёльдера;
• гладкость;
• дифференцируемость;
• возможности эффективного приближения функции полиномами (неравенство Джексона — Стечкина)
• и многих других.

Вариации и обобщения

Модули непрерывности высших порядков

Нетрудно заметить, что в определении модуля непрерывности используется конечная разность первого порядка от функции $f$.

$\omega _{f}(\delta )=\sup\{|\Delta _{h}^{1}(f,\;x)|\colon (x\in E)\land |h|<\delta \}.$

Если вместо конечной разности первого порядка взять конечную разность порядка $n$, то получим определение модуля непрерывности порядка $n$. Обычное обозначение для таких модулей — $\omega _{n}(f,\;\delta )$.

Свойства

• Если $k$ — целое число, то $\omega _{n}(f,\;k\delta )\leqslant k^{n}\omega _{n}(f,\;\delta ).$

Неклассические модули непрерывности

Известно много разных обобщений понятия модуля непрерывности. Например, можно заменить оператор конечной разности другим разностным оператором с произвольными коэффициентами. Можно разрешить этим коэффициентам быть непостоянными и меняться в зависимости от точки, где берётся этот разностный оператор. Можно разрешить и шагу, с которым берётся разностный оператор также зависеть от точки. Подобные неклассические модули непрерывности находят своё применение в различных областях современной математики.

Ссылки

• Модуль непрерывности и обобщенные пространства Гёльдера