Неравенство Харди

Нера́венство Ха́рди — математическое неравенство, названное в честь автора, английского математика Г. Х. Харди. Впервые опубликовано и доказано в 1920 году в заметке Харди, посвящённой упрощению доказательства теоремы Гильберта о двойных рядах.

Формулировка

Приведём современный вариант неравенства; он несколько отличается от приведенного в первой публикации Харди — в 1926 году Эдмунд Ландау уточнил коэффициент в правой части.

Пусть $a_{1},a_{2},a_{3}\dots$ — последовательность неотрицательных вещественных чисел, не все из которых равны нулю. Тогда для любого вещественного числа $p>1$ имеет место неравенство: $\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}.$

Константа справа $\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}$ является оптимальной, то есть в случае любого её уменьшения неравенство может не выполняться.

Интегральная версия

Если $f(x)$ — неотрицательная интегрируемая функция, то: $\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\,dx\leqslant \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx.$

Равенство левой и правой части возможно тогда и только тогда, когда функция $f(x)$ почти всюду равна нулю.

Замечания

Из неравенства Харди можно вывести как следствие неравенство Карлемана.

У интегрального неравенства Харди имеются многочисленные обобщения.

Литература

• Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2-е изд., М.: Наука, 1977, 456 с.
• Xapди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства = Inequalities. — М.: КомКнига, 2006. — 458 с. — ISBN 5-484-00363-6.
• Харди неравенство // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 772—773.
• Kufner, Alois; Persson, Lars-Erik. Weighted inequalities of Hardy type (неопр.). — World Scientific Publishing, 2003. — ISBN 981-238-195-3.
• Masmoudi, Nader (2011), "About the Hardy Inequality", An Invitation to Mathematics, Springer Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-642-19533-4 {{citation}}: Неизвестный параметр |editors= игнорируется (|editor= предлагается) (справка)CS1 maint: Uses editors parameter (link) Masmoudi, Nader (2011), "About the Hardy Inequality", An Invitation to Mathematics, Springer Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-642-19533-4 {{citation}}: Неизвестный параметр |editors= игнорируется (|editor= предлагается) (справка).

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Hardy inequality", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4